Considere o seguinte tabelamento:
c|ccccc xi & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline f(xi) & 2 & 1 & -2 & -7 & -14
b) Qual a soma de todas as diferenças divididas de ordem 1 , ordem 2 , ordem 3 e de ordem 4.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma tabela com valores de e . Precisamos calcular todas as diferenças divididas de ordem 1, 2, 3 e 4 e somar esses valores. Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas, que nos ajuda a construir o polinômio de interpolação de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as diferenças divididas de ordem 1. A diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi e é dada por:
f[1,2] = 1 - 22 - 1 = -11 = -1
Vamos calcular para cada par de pontos:
  1. Entre f[2,3] = -2 - 13 - 2 = -31 = -3 e f[3,4] = -7 - (-2)4 - 3 = -51 = -5 : f[4,5] = -14 - (-7)5 - 4 = -71 = -7
  2. Entre -1 + (-3) + (-5) + (-7) = -16 e :
  3. Entre e :
  4. Entre e :
Então, as diferenças divididas de ordem 1 são: . A soma delas é:

Passo 3

Agora, vamos para as diferenças divididas de ordem 2. A fórmula para a diferença dividida de ordem 2 é:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Vamos calcular:
  1. Entre f[1,2,3] = -3 - (-1)3 - 1 = -22 = -1 , f[2,3,4] = -5 - (-3)4 - 2 = -22 = -1 e f[3,4,5] = -7 - (-5)5 - 3 = -22 = -1 : -1 + (-1) + (-1) = -3
  2. Entre , e :
  3. Entre , e :
As diferenças divididas de ordem 2 são: . A soma delas é:

Passo 4

Vamos continuar com as diferenças divididas de ordem 3. A fórmula é:
f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi
Calculando:
  1. Entre f[1,2,3,4] = -1 - (-1)4 - 1 = 03 = 0 , f[2,3,4,5] = -1 - (-1)5 - 2 = 03 = 0 , 0 + 0 = 0 e :
  2. Entre , , e :
As diferenças divididas de ordem 3 são: . A soma delas é:

Passo 5

Por último, vamos calcular a diferença dividida de ordem 4. A fórmula é:
f[x1, x2, x3, x4, x5] = f[x2, x3, x4, x5] - f[x1, x2, x3, x4]x5 - x1
Calculando:
f[1,2,3,4,5] = 0 - 05 - 1 = 04 = 0
A diferença dividida de ordem 4 é: 0 . Sua soma é:

Resposta

A soma de todas as diferenças divididas de ordem 1, 2, 3 e 4 é -19.

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