A equação f(x)=e^x+x=0 possui uma raiz real no intervalo [-1 ; 0]. Determinea, usando 3 pontos deste intervalo e fazendo uso da interpolação inversa (polinômio de Newton). Utilize arredondamento padrão e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação que tem uma raiz real no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é de interpolação inversa com o polinômio de Newton. Para isso, vamos precisar selecionar três pontos dentro desse intervalo e aplicar a técnica de interpolação para aproximar a raiz da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três pontos no intervalo f(x0) = e^-1 + (-1) approx 0,3679 - 1 = -0,6321 . Vamos escolher f(x1) = e^-0,5 + (-0,5) approx 0,6065 - 0,5 = 0,1065 , f(x2) = e^0 + 0 = 1 + 0 = 1 e . Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos:

Passo 3

Agora, montamos a tabela de diferenças divididas para o polinômio de Newton. A tabela fica assim:
c|c|c|c x & f(x) & Diferença Dividida 1ª & Diferença Dividida 2ª hline -1 & -0,6321 & & -0,5 & 0,1065 & 0,1065 - (-0,6321)-0,5 - (-1) = 0,73860,5 = 1,4772 & 0 & 1 & 1 - 0,10650 - (-0,5) = 0,89350,5 = 1,7870 & 1,7870 - 1,47720 - (-1) = 0,30981 = 0,3098 çªçª

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton:
P2(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
P2(x) = -0,6321 + 1,4772(x + 1) + 0,3098(x + 1)(x + 0,5)

Passo 5

Agora, queremos encontrar a raiz aproximada desse polinômio, ou seja, resolver P2(x) = -0,6321 + 1,4772x + 1,4772 + 0,3098x^2 + 0,3098 cdot 1,5x + 0,3098 cdot 0,5 . Vamos expandir o polinômio:
P2(x) = 0,8451 + 1,4772x + 0,3098x^2 + 0,4647x + 0,1549
Simplificando:
P2(x) = 0,8451 + (1,4772 + 0,4647)x + 0,3098x^2 + 0,1549
P2(x) = 0,8451 + 1,9419x + 0,3098x^2 + 0,1549
P2(x) = 0,3098x^2 + 1,9419x + 1,0000

Passo 6

Para resolver 0,3098x^2 + 1,9419x + 1,0000 = 0 , temos a equação quadrática:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
De
Onde x = -1,9419 pm raiz2,53132 cdot 0,3098 approx -1,9419 pm 1,59160,6196 , x1 = -1,9419 + 1,59160,6196 approx -0,35030,6196 approx -0,5650 e x2 = -1,9419 - 1,59160,6196 approx -3,53350,6196 approx -5,7070 .
Calculando o discriminante ( ):
Calculando as raízes:
Então, temos duas soluções:

Passo 7

Como estamos procurando uma raiz no intervalo , descartamos por estar fora do intervalo. Portanto, a raiz aproximada é .

Resposta

A raiz real da equação no intervalo é aproximadamente .

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