Dada as seguintes funções, , utilize interpolação de Newton para aproximar no seguintes pontos , e e determine o erro percentual.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa usar a interpolação de Newton para aproximar . Os pontos que vamos usar são , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como montar o polinômio de interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas. No final, também vamos calcular o erro percentual dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os pontos que temos:
Vamos calcular os valores de :
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas necessárias para o polinômio de Newton. Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem:
Passo 4
Em seguida, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 5
Agora, montamos o polinômio de interpolação de Newton usando as diferenças divididas:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar o polinômio para facilitar a substituição de :
Primeiro, calculamos e :
Para :
Agora, substituímos no polinômio:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o valor real de :
Passo 8
Por fim, vamos determinar o erro percentual da nossa aproximação:
Substituindo os valores:
Erro percentual = | 0.9854497 - 0.985915420.9854497 | times 100% approx | -0.000465720.9854497 | times 100% approx 0.0472%
Resposta
A aproximação de usando interpolação de Newton é aproximadamente e o erro percentual é de cerca de .