Dada as seguintes funções, f(x), utilize interpolação de Newton para aproximar f(1.4) no seguintes pontos x0=1, x1=1.25, e x=1.6 e determine o erro percentual.
a) f(x)=sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa usar a interpolação de Newton para aproximar . Os pontos que vamos usar são , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como montar o polinômio de interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas. No final, também vamos calcular o erro percentual dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos que temos:
Vamos calcular os valores de c|c x & f(x) = sen x hline 1 & sen(1) 1.25 & sen(1.25) 1.6 & sen(1.6) :
f(1) approx 0.8415 f(1.25) approx 0.9489846 f(1.6) approx 0.9995736

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas necessárias para o polinômio de Newton. Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem:
f[x1, x0] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 0.9489846 - 0.84151.25 - 1 = 0.10748460.25 = 0.4299384
f[x2, x1] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 0.9995736 - 0.94898461.6 - 1.25 = 0.0505890.35 approx 0.144540

Passo 4

Em seguida, calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
f[x2, x1, x0] = f[x2, x1] - f[x1, x0]x2 - x0 = 0.144540 - 0.42993841.6 - 1 = -0.28539840.6 approx -0.475664

Passo 5

Agora, montamos o polinômio de interpolação de Newton usando as diferenças divididas:
P(x) = f(x0) + f[x1, x0](x - x0) + f[x2, x1, x0](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
P(x) = 0.8415 + 0.4299384(x - 1) - 0.475664(x - 1)(x - 1.25)

Passo 6

Vamos simplificar o polinômio para facilitar a substituição de x - 1 = 0.4 x - 1.25 = 0.15 :
Primeiro, calculamos P(1.4) = 0.8415 + 0.4299384 times 0.4 - 0.475664 times 0.4 times 0.15 e 0.4299384 times 0.4 = 0.17197536 0.475664 times 0.4 times 0.15 = 0.02855994 :
Para P(1.4) = 0.8415 + 0.17197536 - 0.02855994 approx 0.8415 + 0.17197536 - 0.02855994 approx 0.98591542 :
Agora, substituímos no polinômio:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor real de f(1.4) = sen(1.4) approx 0.9854497 :

Passo 8

Por fim, vamos determinar o erro percentual da nossa aproximação:
Erro percentual = | f(1.4) - P(1.4)f(1.4) | times 100%
Substituindo os valores:
Erro percentual = | 0.9854497 - 0.985915420.9854497 | times 100% approx | -0.000465720.9854497 | times 100% approx 0.0472%

Resposta

A aproximação de usando interpolação de Newton é aproximadamente e o erro percentual é de cerca de .

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