Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
a) Determine f(8.4)
x 8.1 8.3 8.4 8.6
f(x) 16.9441 17.56492 17.8771 18.50515

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para usar a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar o valor de . A gente vai precisar dos pontos fornecidos na tabela e entender um pouco como funciona a fórmula de Lagrange para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interpolação polinomial de Lagrange. É uma técnica que usa um polinômio de grau P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) para passar exatamente por Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj pontos dados. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange é:
onde cada é o polinômio base de Lagrange definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos 4 pontos, então vamos construir um polinômio de grau 3. Os pontos são:
|c|c| hline x & f(x) hline 8.1 & 16.9441 8.3 & 17.56492 8.4 & 17.8771 8.6 & 18.50515 hline
Vamos calcular cada L0(x) = (x - 8.3)(x - 8.4)(x - 8.6)(8.1 - 8.3)(8.1 - 8.4)(8.1 - 8.6) :
Para L1(x) = (x - 8.1)(x - 8.4)(x - 8.6)(8.3 - 8.1)(8.3 - 8.4)(8.3 - 8.6) com L2(x) = (x - 8.1)(x - 8.3)(x - 8.6)(8.4 - 8.1)(8.4 - 8.3)(8.4 - 8.6) :
L3(x) = (x - 8.1)(x - 8.3)(x - 8.4)(8.6 - 8.1)(8.6 - 8.3)(8.6 - 8.4)
Para com :
Para com :
Para com :

Passo 4

Agora, substituímos P(8.4) = f(8.1) cdot L0(8.4) + f(8.3) cdot L1(8.4) + f(8.4) cdot L2(8.4) + f(8.6) cdot L3(8.4) na expressão do polinômio L0(8.4) = (8.4 - 8.3)(8.4 - 8.4)(8.4 - 8.6)(8.1 - 8.3)(8.1 - 8.4)(8.1 - 8.6) = 0 :
L1(8.4) = (8.4 - 8.1)(8.4 - 8.4)(8.4 - 8.6)(8.3 - 8.1)(8.3 - 8.4)(8.3 - 8.6) = 0
Calculando cada L2(8.4) = (8.4 - 8.1)(8.4 - 8.3)(8.4 - 8.6)(8.4 - 8.1)(8.4 - 8.3)(8.4 - 8.6) = 1 :
L3(8.4) = (8.4 - 8.1)(8.4 - 8.3)(8.4 - 8.4)(8.6 - 8.1)(8.6 - 8.3)(8.6 - 8.4) = 0
P(8.4) = 16.9441 cdot 0 + 17.56492 cdot 0 + 17.8771 cdot 1 + 18.50515 cdot 0 = 17.8771
Portanto:

Resposta

O valor aproximado de usando a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 é 17.8771.

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