Considere o seguinte tabelamento:
c|ccccc xi & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline f(xi) & 2 & 1 & -2 & -7 & -14
d) Calcule o polinômio interpolador de Gregory-Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com alguns valores de e e precisa encontrar o polinômio interpolador usando o método de Gregory-Newton. Isso está no campo da Interpolação Polinomial, e vamos precisar entender como montar uma tabela de diferenças divididas para aplicar a fórmula de Gregory-Newton. Vamos resolver isso juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que você tem:
c|ccccc xi & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline f(xi) & 2 & 1 & -2 & -7 & -14
Como os estão igualmente espaçados (com diferença ), podemos usar o método de Gregory-Newton para construir nosso polinômio.

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças. Primeiro, colocamos os valores de c|ccccc i & xi & f(xi) & De:
Aqui, representa a diferença entre os valores consecutivos de . Por exemplo, .

Passo 4

Continuando, calculamos as diferenças de ordem superior:
  • Primeira diferença ( ):
  • Segunda diferença ( ):
  • Terceira diferença ( ):

Passo 5

Com as diferenças calculadas, podemos identificar os coeficientes do polinômio de Gregory-Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(x0) + De
No nosso caso, como temos até a terceira diferença, o polinômio será de terceiro grau.

Passo 6

Aplicando os valores da tabela:
  • P(x) = 2 + (-1)(x - 1) + -22(x - 1)(x - 2) + 0
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Simplificando os termos:
P(x) = 2 - (x - 1) - (x - 1)(x - 2)
Vamos expandir:
P(x) = 2 - x + 1 - (x^2 - 3x + 2)
P(x) = 3 - x - x^2 + 3x - 2
P(x) = -x^2 + 2x + 1

Resposta

O polinômio interpolador de Gregory-Newton é:
P(x) = -x^2 + 2x + 1

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