Considere o seguinte tabelamento:
d) Calcule o polinômio interpolador de Gregory-Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela com alguns valores de
e
e precisa encontrar o polinômio interpolador usando o método de Gregory-Newton. Isso está no campo da Interpolação Polinomial, e vamos precisar entender como montar uma tabela de diferenças divididas para aplicar a fórmula de Gregory-Newton. Vamos resolver isso juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que você tem:
Como os
estão igualmente espaçados (com diferença
), podemos usar o método de Gregory-Newton para construir nosso polinômio.
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de diferenças. Primeiro, colocamos os valores de
:
Aqui,
representa a diferença entre os valores consecutivos de
. Por exemplo,
.
Passo 4
Continuando, calculamos as diferenças de ordem superior:
-
Primeira diferença (
): -
-
Segunda diferença (
): -
-
Terceira diferença (
): -
Passo 5
Com as diferenças calculadas, podemos identificar os coeficientes do polinômio de Gregory-Newton. A fórmula geral é:
No nosso caso, como temos até a terceira diferença, o polinômio será de terceiro grau.
Passo 6
Aplicando os valores da tabela:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Simplificando os termos:
Vamos expandir:
Resposta
O polinômio interpolador de Gregory-Newton é: