Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
x 1 2 3 5
f(x) 1 8 27 125
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.

Passo 1

Beleza! Temos um exercício que envolve polinômios interpoladores. O enunciado nos dá uma tabela com valores de e , e precisamos descobrir a soma dos coeficientes do polinômio que passa por esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como construir polinômios interpoladores e como encontrar a soma dos seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. No nosso caso, temos quatro pontos: (1, 1), (2, 8), (3, 27) e (5, 125). Como temos quatro pontos, o polinômio interpolador será de grau 3 (o menor grau possível que passa por quatro pontos).

Passo 3

Observando os valores de f(1) = 1 = 1^3 f(2) = 8 = 2^3 f(3) = 27 = 3^3 f(5) = 125 = 5^3 , percebemos que:
Isso sugere que o polinômio interpolador é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar a soma dos coeficientes desse polinômio. O polinômio P(x) = 1x^3 + 0x^2 + 0x + 0 pode ser escrito na forma:
Os coeficientes são 1, 0, 0 e 0.

Passo 5

Para encontrar a soma dos coeficientes, somamos esses valores:
1 + 0 + 0 + 0 = 1
Outra maneira rápida de achar isso é perceber que a soma dos coeficientes de um polinômio é igual a . Como , confirmamos a soma dos coeficientes.

Resposta

A soma dos coeficientes do polinômio interpolador é 1.

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