Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
1
2
3
5
1
8
27
125
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.
Passo 1
Beleza! Temos um exercício que envolve polinômios interpoladores. O enunciado nos dá uma tabela com valores de e , e precisamos descobrir a soma dos coeficientes do polinômio que passa por esses pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como construir polinômios interpoladores e como encontrar a soma dos seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados na tabela. No nosso caso, temos quatro pontos: (1, 1), (2, 8), (3, 27) e (5, 125). Como temos quatro pontos, o polinômio interpolador será de grau 3 (o menor grau possível que passa por quatro pontos).
Passo 3
Observando os valores de , percebemos que:
Isso sugere que o polinômio interpolador é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar a soma dos coeficientes desse polinômio. O polinômio pode ser escrito na forma:
Os coeficientes são 1, 0, 0 e 0.
Passo 5
Para encontrar a soma dos coeficientes, somamos esses valores:
Outra maneira rápida de achar isso é perceber que a soma dos coeficientes de um polinômio é igual a . Como , confirmamos a soma dos coeficientes.
Resposta
A soma dos coeficientes do polinômio interpolador é 1.