4.- Estime o erro relativo percentual, sabendo que a solução analítica deste problema é . Considere 3 casas decimais e arredondamento padrão.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
E a solução analítica desse problema é . Nosso objetivo aqui é estimar o erro relativo percentual dessa solução. Para isso, vamos precisar entender o que é erro relativo e como calculá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é erro relativo percentual. Básicamente, ele nos mostra o quanto uma aproximação está longe do valor verdadeiro, em termos percentuais. A fórmula para calcular o erro relativo percentual é:
Aqui, yaprox é o valor aproximado que temos (de uma solução numérica, por exemplo) e yexato é o valor verdadeiro da solução.
Passo 3
No nosso caso, a gente tem a solução exata: y(x) = 3 + e^-x. Mas para calcular o erro relativo, precisamos de um valor aproximado de y em algum ponto específico x. Vamos supor que usamos um método numérico, como o Método de Euler, e obtivemos uma aproximação tildey(x) em x = 1.
Por exemplo, digamos que nossa aproximação numérica no ponto x = 1 seja tildey(1) = 3.367. Agora, vamos calcular o valor exato em x = 1.
Passo 4
Calculando o valor exato em x = 1:
y(1) = 3 + e^-1 approx 3 + 0.368 = 3.368
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula do erro relativo percentual:
Erro Relativo Percentual = | 3.367 - 3.3683.368 | times 100% approx | -0.0013.368 | times 100% approx 0.030%
Resposta
O erro relativo percentual é aproximadamente 0,030%.