Dado o seguinte PVI:
l y^prime+y=3 y(0)=4
4.- Estime o erro relativo percentual, sabendo que a solução analítica deste problema é y(x)=3+e^-x. Considere 3 casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
l y^prime + y = 3 y(0) = 4
E a solução analítica desse problema é y(x) = 3 + e^-x. Nosso objetivo aqui é estimar o erro relativo percentual dessa solução. Para isso, vamos precisar entender o que é erro relativo e como calculá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é erro relativo percentual. Básicamente, ele nos mostra o quanto uma aproximação está longe do valor verdadeiro, em termos percentuais. A fórmula para calcular o erro relativo percentual é:
Erro Relativo Percentual = | yaprox - yexatoyexato | times 100%
Aqui, yaprox é o valor aproximado que temos (de uma solução numérica, por exemplo) e yexato é o valor verdadeiro da solução.

Passo 3

No nosso caso, a gente tem a solução exata: y(x) = 3 + e^-x. Mas para calcular o erro relativo, precisamos de um valor aproximado de y em algum ponto específico x. Vamos supor que usamos um método numérico, como o Método de Euler, e obtivemos uma aproximação tildey(x) em x = 1.
Por exemplo, digamos que nossa aproximação numérica no ponto x = 1 seja tildey(1) = 3.367. Agora, vamos calcular o valor exato em x = 1.

Passo 4

Calculando o valor exato em x = 1:
y(1) = 3 + e^-1 approx 3 + 0.368 = 3.368

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula do erro relativo percentual:
Erro Relativo Percentual = | 3.367 - 3.3683.368 | times 100% approx | -0.0013.368 | times 100% approx 0.030%

Resposta

O erro relativo percentual é aproximadamente 0,030%.

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