Dada as seguintes funções, , utilize interpolação de Newton para aproximar no seguintes pontos , e e determine o erro percentual.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função . A tarefa é usar a Interpolação de Newton para aproximar o valor de utilizando os pontos , e . Além disso, vamos calcular o erro percentual dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre interpolação polinomial e diferenças divididas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de nos pontos dados:
Esses valores vão servir para construir nossa tabela de diferenças divididas.
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia aqui é calcular as diferenças entre os valores de para construir o polinômio de interpolação.
Aqui, são as primeiras diferenças divididas e a segunda diferença dividida.
Passo 4
Com as diferenças divididas em mãos, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral é:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar :
Então, a aproximação de usando interpolação de Newton é aproximadamente 0.8683.
Passo 6
Para calcular o erro percentual, precisamos do valor exato de :
Agora, calculamos o erro absoluto e depois o percentual:
Resposta
A aproximação de é aproximadamente 0.8683 e o erro percentual é de cerca de 25,38%.