Dada as seguintes funções, f(x), utilize interpolação de Newton para aproximar f(1.4) no seguintes pontos x0=1, x1=1.25, e x=1.6 e determine o erro percentual.
c) f(x)=log (3 x-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função . A tarefa é usar a Interpolação de Newton para aproximar o valor de utilizando os pontos , e . Além disso, vamos calcular o erro percentual dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre interpolação polinomial e diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de f(x0) &= f(1) = log(3 times 1 - 1) = log(2) f(x1) &= f(1.25) = log(3 times 1.25 - 1) = log(2.75) f(x2) &= f(1.6) = log(3 times 1.6 - 1) = log(3.8) nos pontos dados:
Esses valores vão servir para construir nossa tabela de diferenças divididas.

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia aqui é calcular as diferenças entre os valores de c|c|c|c x & f(x) & De para construir o polinômio de interpolação.
Aqui, são as primeiras diferenças divididas e a segunda diferença dividida.

Passo 4

Com as diferenças divididas em mãos, podemos construir o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(x0) + De
Substituindo os valores que calculamos:
P(x) = 0.6931 + 0.3185 (x - 1) + 0.7967 (x - 1)(x - 1.25)

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar P(1.4) &= 0.6931 + 0.3185 (1.4 - 1) + 0.7967 (1.4 - 1)(1.4 - 1.25) &= 0.6931 + 0.3185 times 0.4 + 0.7967 times 0.4 times 0.15 &= 0.6931 + 0.1274 + 0.0478 &approx 0.8683 :
Então, a aproximação de usando interpolação de Newton é aproximadamente 0.8683.

Passo 6

Para calcular o erro percentual, precisamos do valor exato de f(1.4) = log(3 times 1.4 - 1) = log(3.2) approx 1.1632 :
Erro Absoluto &= |1.1632 - 0.8683| = 0.2949 Erro Percentual &= ( 0.29491.1632 ) times 100% approx 25.38%
Agora, calculamos o erro absoluto e depois o percentual:

Resposta

A aproximação de é aproximadamente 0.8683 e o erro percentual é de cerca de 25,38%.

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