Considere a sequência
. Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que
).
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos a sequência
. Precisamos mostrar que essa sequência é monótona crescente e que está limitada por 3. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sequências monótonas e limites, além da comparação
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona crescente. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Vamos calcular a diferença entre dois termos consecutivos da sequência:
Como
é sempre positivo para todo
, concluímos que
. Portanto, a sequência é monótona crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência está limitada por 3. Sabemos que
.
A soma infinita
converge para
, mas vamos seguir a sugestão e usar a comparação
.
Passo 5
Vamos comparar cada termo da série
com
:
Portanto,
Passo 6
Sabemos que a soma da série geométrica
. Mesmo considerando até
termos, temos que:
Portanto,
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Assim, mostramos que
para todo
, ou seja, a sequência está limitada por 3.
Resposta
A sequência
é monótona crescente e está limitada por 3.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique que
é monótona e limitada
. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler
).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de
dado,
Verifique se uma sequência
converge, então esse limite de convergência é único. (Ideia: mostrar por contradição).
Verifique que a Série Numérica, de termo geral
é divergente.