Considere a sequência an=1+sumi=0^n 1i!. Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que 1n!<12^n ).

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos a sequência . Precisamos mostrar que essa sequência é monótona crescente e que está limitada por 3. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sequências monótonas e limites, além da comparação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona crescente. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao termo anterior, ou seja, para todo .

Passo 3

Vamos calcular a diferença entre dois termos consecutivos da sequência:
an+1 - an = (1 + sumi=0^n+1 1i!) - (1 + sumi=0^n 1i!) = 1(n+1)!
Como é sempre positivo para todo , concluímos que . Portanto, a sequência é monótona crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência está limitada por 3. Sabemos que .
A soma infinita converge para , mas vamos seguir a sugestão e usar a comparação .

Passo 5

Vamos comparar cada termo da série 1i! < 12^i para todo i >= 1 com sumi=0^n 1i! < sumi=0^n 12^i :
Portanto,

Passo 6

Sabemos que a soma da série geométrica sumi=0^n 12^i < 2 . Mesmo considerando até sumi=0^n 1i! < 2 termos, temos que:
Portanto,

Passo 7

Voltando à expressão de an = 1 + sumi=0^n 1i! < 1 + 2 = 3 :
Assim, mostramos que para todo , ou seja, a sequência está limitada por 3.

Resposta

A sequência é monótona crescente e está limitada por 3.

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