Seja xn=raiz[n]n. Verifique que xn é monótona e limitada forall n >= 3. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler e ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a sequência e verificar se ela é monótona e limitada para todo . Isso significa que precisamos ver se os termos da sequência estão sempre aumentando ou sempre diminuindo (monotonia) e se existe um limite para os valores que pode atingir (limitada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, incluindo um pouco sobre a série que define o número de Euler .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é o mesmo que . Então, nossa sequência é .

Passo 3

Para verificar a monotonia, vamos investigar se xn = n^1/n e xn+1 = (n+1)^1/(n+1) está diminuindo ou aumentando conforme aumenta. Vamos comparar com :
Queremos ver se ou .

Passo 4

Vamos simplificar a comparação usando logaritmos, que facilitam trabalhar com expoentes. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(xn) = ln nn e ln(xn+1) = ln(n+1)n+1
Queremos ver se .

Passo 5

Vamos analisar a função f'(n) = 1/n cdot n - ln n cdot 1n^2 = 1 - ln nn^2 . Para ver se essa função está diminuindo, calculamos sua derivada:

Passo 6

Observando a derivada :
  • Para (onde ), , então .
  • Como , isso significa que .
Isso indica que está diminuindo para , ou seja, está diminuindo.

Passo 7

Como , isso implica que . Como o logaritmo é uma função crescente, isso significa que .
Portanto, a sequência é decrescente para , ou seja, é monótona decrescente.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que, para todo limn to infty n^1/n = 1 , , já que qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva resulta em um número maior que 1.
Além disso, sabemos que:
Isso significa que conforme cresce, se aproxima de 1, mas nunca fica abaixo de 1. Portanto, a sequência está limitada abaixo por 1.
Como já mostramos que é decrescente e sempre maior que 1, podemos concluir que a sequência está limitada superiormente por (pois é decrescente a partir de ).

Resposta

A sequência é monótona decrescente e está limitada abaixo por 1 para todo .

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