Seja
. Verifique que
é monótona e limitada
. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a sequência
e verificar se ela é monótona e limitada para todo
. Isso significa que precisamos ver se os termos da sequência estão sempre aumentando ou sempre diminuindo (monotonia) e se existe um limite para os valores que
pode atingir (limitada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e séries, incluindo um pouco sobre a série que define o número de Euler
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é o mesmo que
. Então, nossa sequência é
.
Passo 3
Para verificar a monotonia, vamos investigar se
está diminuindo ou aumentando conforme
aumenta. Vamos comparar
com
:
Queremos ver se
ou
.
Passo 4
Vamos simplificar a comparação usando logaritmos, que facilitam trabalhar com expoentes. Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Queremos ver se
.
Passo 5
Vamos analisar a função
. Para ver se essa função está diminuindo, calculamos sua derivada:
Passo 6
Observando a derivada
:
- Para
(onde ), , então . - Como
, isso significa que .
Isso indica que
está diminuindo para
, ou seja,
está diminuindo.
Passo 7
Como
, isso implica que
. Como o logaritmo é uma função crescente, isso significa que
.
Portanto, a sequência
é decrescente para
, ou seja, é monótona decrescente.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Sabemos que, para todo
,
, já que qualquer número maior que 1 elevado a uma potência positiva resulta em um número maior que 1.
Além disso, sabemos que:
Isso significa que conforme
cresce,
se aproxima de 1, mas nunca fica abaixo de 1. Portanto, a sequência está limitada abaixo por 1.
Como já mostramos que é decrescente e sempre maior que 1, podemos concluir que a sequência está limitada superiormente por
(pois é decrescente a partir de
).
Resposta
A sequência
é monótona decrescente e está limitada abaixo por 1 para todo
.