Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de
dado,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função
centrado em
. Isso significa que vamos aproximar a função cosseno por um polinômio de quinto grau ao redor de zero. Para isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite representar funções suaves como somas de potências.
Passo 2
A série de Taylor para uma função
centrada em
é dada por:
Como queremos um polinômio de ordem 5, vamos calcular as derivadas de
até a quinta ordem e avaliar em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor até a quinta ordem:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Já que queremos um polinômio de ordem 5, mas o termo de quinta ordem é zero, nosso polinômio de Taylor de ordem 5 para
em
é:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 5 para
em
é: