Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de dado,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função centrado em . Isso significa que vamos aproximar a função cosseno por um polinômio de quinto grau ao redor de zero. Para isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite representar funções suaves como somas de potências.

Passo 2

A série de Taylor para uma função centrada em é dada por:
Como queremos um polinômio de ordem 5, vamos calcular as derivadas de até a quinta ordem e avaliar em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:
  5. Quinta derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor até a quinta ordem:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Já que queremos um polinômio de ordem 5, mas o termo de quinta ordem é zero, nosso polinômio de Taylor de ordem 5 para em é:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para em é:

Exercícios relacionados

Dada a tabela abaixo,
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.
Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
Seja . Verifique que é monótona e limitada . (Dica: Estude a série que gera o número de Euler ).
Considere a sequência . Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que ).