Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado,
cos x x0=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função cos x centrado em x0 = 0. Isso significa que vamos aproximar a função cosseno por um polinômio de quinto grau ao redor de zero. Para isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite representar funções suaves como somas de potências.

Passo 2

A série de Taylor para uma função f(x) centrada em x0 é dada por:
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + f'''(x0)3!(x - x0)^3 + dots
Como queremos um polinômio de ordem 5, vamos calcular as derivadas de cos x até a quinta ordem e avaliar em x0 = 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cos x:
  1. Primeira derivada: f'(x) = -sin x
  2. Segunda derivada: f''(x) = -cos x
  3. Terceira derivada: f'''(x) = sin x
  4. Quarta derivada: f''''(x) = cos x
  5. Quinta derivada: f'''''(x) = -sin x

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em x0 = 0:
  1. f(0) = cos 0 = 1
  2. f'(0) = -sin 0 = 0
  3. f''(0) = -cos 0 = -1
  4. f'''(0) = sin 0 = 0
  5. f''''(0) = cos 0 = 1
  6. f'''''(0) = -sin 0 = 0

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor até a quinta ordem:
cos x approx f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + f''''(0)4!x^4 + f'''''(0)5!x^5
Substituindo os valores:
cos x approx 1 + 0 cdot x + -12x^2 + 0 cdot x^3 + 124x^4 + 0 cdot x^5
Simplificando:
cos x approx 1 - x^22 + x^424

Passo 6

Já que queremos um polinômio de ordem 5, mas o termo de quinta ordem é zero, nosso polinômio de Taylor de ordem 5 para cos x em x0 = 0 é:
P5(x) = 1 - x^22 + x^424

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 5 para cos x em x0 = 0 é:
P5(x) = 1 - x^22 + x^424

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