Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de
dado,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função
centrado em
. Isso significa que vamos aproximar a função cosseno por um polinômio de quinto grau ao redor de zero. Para isso, vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite representar funções suaves como somas de potências.
Passo 2
A série de Taylor para uma função
centrada em
é dada por:
Como queremos um polinômio de ordem 5, vamos calcular as derivadas de
até a quinta ordem e avaliar em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- Quinta derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor até a quinta ordem:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Já que queremos um polinômio de ordem 5, mas o termo de quinta ordem é zero, nosso polinômio de Taylor de ordem 5 para
em
é:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 5 para
em
é:
Exercícios relacionados
Dada a tabela abaixo,
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.
Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
Seja
. Verifique que
é monótona e limitada
. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler
).
Considere a sequência
. Mostre que ela é monótona (crescente) e que é limitada por 3. (Sugestão:Use que
).