(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
O conteúdo aqui envolve o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o critério de Sassenfeld para verificar se o método vai convergir e, depois, aplicar o método com um chute inicial de e uma precisão de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o critério de Sassenfeld. Esse critério nos ajuda a saber se o Método de Gauss-Seidel vai funcionar bem, ou seja, se ele vai chegar perto da solução correta conforme fazemos as iterações.
O critério envolve reorganizar o sistema na forma iterativa e calcular certos coeficientes que, se satisfeitos, garantem a convergência do método. Para cada equação, isolamos uma variável e calculamos os coeficientes baseados nos outros termos.
Passo 3
Vamos reorganizar o sistema para facilitar o cálculo pelo critério de Sassenfeld. Vamos isolar cada :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Passo 4
Agora, aplicamos o critério de Sassenfeld. Calculamos os coeficientes para cada variável, que são baseados nos coeficientes dos outros termos:
Para a equação 1 (relativa a ):
Para a equação 2 (relativa a ):
Para a equação 3 (relativa a ):
Inicialmente, fazemos e iteramos até que os valores se estabilizem.
Passo 5
Vamos calcular as :
Substituindo :
Fazendo outra iteração:
Continuando até que não mude mais significativamente, percebemos que todos os .
Passo 6
Como todos os coeficientes são menores que 1, de acordo com o critério de Sassenfeld, o Método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema.
Passo 7
Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel com o chute inicial e uma precisão de .
Vamos iterar usando as equações reorganizadas:
Vamos calcular cada iteração até que a diferença entre as iterações seja menor que .
Passo 8
Iteração 1:
Iteração 2:
Calculamos as diferenças:
Ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para a próxima iteração.
Passo 9
Iteração 3:
Diferenças:
Ainda precisamos continuar.
Passo 10
Iteração 4:
Diferenças:
Agora, todas as diferenças são menores que .
Resposta
Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel é: