Considere o sistema abaixo e responda:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0)^t e epsilon=10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
O conteúdo aqui envolve o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o critério de Sassenfeld para verificar se o método vai convergir e, depois, aplicar o método com um chute inicial de (0,0,0) e uma precisão de 10^-2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o critério de Sassenfeld. Esse critério nos ajuda a saber se o Método de Gauss-Seidel vai funcionar bem, ou seja, se ele vai chegar perto da solução correta conforme fazemos as iterações.
O critério envolve reorganizar o sistema na forma iterativa e calcular certos coeficientes que, se satisfeitos, garantem a convergência do método. Para cada equação, isolamos uma variável e calculamos os coeficientes baseados nos outros termos.

Passo 3

Vamos reorganizar o sistema para facilitar o cálculo pelo critério de Sassenfeld. Vamos isolar cada xi:
  1. Da primeira equação:
    x1 = 5 - x2 - x35
  2. Da segunda equação:
    x2 = 6 - 3x1 - x34
  3. Da terceira equação:
    x3 = 0 - 3x1 - 3x26 = -12x1 - 12x2

Passo 4

Agora, aplicamos o critério de Sassenfeld. Calculamos os coeficientes betai para cada variável, que são baseados nos coeficientes dos outros termos:
Para a equação 1 (relativa a x1):
beta1 = 15 (|1| beta2 + |1| beta3)
Para a equação 2 (relativa a x2):
beta2 = 14 (|3| beta1 + |1| beta3)
Para a equação 3 (relativa a x3):
beta3 = 16 (|3| beta1 + |3| beta2)
Inicialmente, fazemos beta1 = beta2 = beta3 = 1 e iteramos até que os valores se estabilizem.

Passo 5

Vamos calcular as betai:
  1. beta1 = 15 (1 cdot beta2 + 1 cdot beta3)
  2. beta2 = 14 (3 cdot beta1 + 1 cdot beta3)
  3. beta3 = 16 (3 cdot beta1 + 3 cdot beta2)
Substituindo beta1 = beta2 = beta3 = 1:
  1. beta1 = 15 (1 + 1) = 25 = 0,4
  2. beta2 = 14 (3 cdot 1 + 1) = 44 = 1
  3. beta3 = 16 (3 cdot 1 + 3 cdot 1) = 66 = 1
Fazendo outra iteração:
  1. beta1 = 15 (1 cdot 1 + 1 cdot 1) = 25 = 0,4
  2. beta2 = 14 (3 cdot 0,4 + 1) = 2,24 = 0,55
  3. beta3 = 16 (3 cdot 0,4 + 3 cdot 0,55) = 1,2 + 1,656 = 2,856 = 0,475
Continuando até que não mude mais significativamente, percebemos que todos os betai < 1.

Passo 6

Como todos os coeficientes betai são menores que 1, de acordo com o critério de Sassenfeld, o Método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema.

Passo 7

Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel com o chute inicial x^(0) = (0, 0, 0)^t e uma precisão de epsilon = 10^-2.
Vamos iterar usando as equações reorganizadas:
x1^(k+1) = 5 - x2^(k) - x3^(k)5 x2^(k+1) = 6 - 3x1^(k+1) - x3^(k)4 x3^(k+1) = -12x1^(k+1) - 12x2^(k+1)
Vamos calcular cada iteração até que a diferença entre as iterações seja menor que 10^-2.

Passo 8

Iteração 1:
x1^(1) = 5 - 0 - 05 = 1
x2^(1) = 6 - 3 cdot 1 - 04 = 34 = 0,75
x3^(1) = -12 cdot 1 - 12 cdot 0,75 = -0,5 - 0,375 = -0,875
Iteração 2:
x1^(2) = 5 - 0,75 - (-0,875)5 = 5 - 0,75 + 0,8755 = 5,1255 = 1,025
x2^(2) = 6 - 3 cdot 1,025 - (-0,875)4 = 6 - 3,075 + 0,8754 = 3,84 = 0,95
x3^(2) = -12 cdot 1,025 - 12 cdot 0,95 = -0,5125 - 0,475 = -0,9875
Calculamos as diferenças:
|1,025 - 1| = 0,025 > 0,01 |0,95 - 0,75| = 0,2 > 0,01 | -0,9875 - (-0,875)| = 0,1125 > 0,01
Ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Iteração 3:
x1^(3) = 5 - 0,95 - (-0,9875)5 = 5 - 0,95 + 0,98755 = 5,03755 = 1,0075
x2^(3) = 6 - 3 cdot 1,0075 - (-0,9875)4 = 6 - 3,0225 + 0,98754 = 3,9654 = 0,99125
x3^(3) = -12 cdot 1,0075 - 12 cdot 0,99125 = -0,50375 - 0,495625 = -0,999375
Diferenças:
|1,0075 - 1,025| = 0,0175 > 0,01 |0,99125 - 0,95| = 0,04125 > 0,01 | -0,999375 - (-0,9875)| = 0,011875 > 0,01
Ainda precisamos continuar.

Passo 10

Iteração 4:
x1^(4) = 5 - 0,99125 - (-0,999375)5 = 5 - 0,99125 + 0,9993755 = 5,0081255 = 1,001625
x2^(4) = 6 - 3 cdot 1,001625 - (-0,999375)4 = 6 - 3,004875 + 0,9993754 = 3,99454 = 0,998625
x3^(4) = -12 cdot 1,001625 - 12 cdot 0,998625 = -0,5008125 - 0,4993125 = -1,000125
Diferenças:
|1,001625 - 1,0075| = 0,005875 < 0,01 |0,998625 - 0,99125| = 0,007375 < 0,01 | -1,000125 - (-0,999375)| = 0,00075 < 0,01
Agora, todas as diferenças são menores que 10^-2.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel é:
x approx 1,001625 0,998625 -1,000125

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