(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0)^t e epsilon=10^-2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
l 5 x1+x2+x3=5 3 x1+4 x2+x3=6 3 x1+3 x2+6 x3=0
O conteúdo aqui envolve o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o critério de Sassenfeld para verificar se o método vai convergir e, depois, aplicar o método com um chute inicial de (0,0,0) e uma precisão de 10^-2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o critério de Sassenfeld. Esse critério nos ajuda a saber se o Método de Gauss-Seidel vai funcionar bem, ou seja, se ele vai chegar perto da solução correta conforme fazemos as iterações.
O critério envolve reorganizar o sistema na forma iterativa e calcular certos coeficientes que, se satisfeitos, garantem a convergência do método. Para cada equação, isolamos uma variável e calculamos os coeficientes baseados nos outros termos.
Passo 3
Vamos reorganizar o sistema para facilitar o cálculo pelo critério de Sassenfeld. Vamos isolar cada xi:
Da primeira equação:
x1 = 5 - x2 - x35
Da segunda equação:
x2 = 6 - 3x1 - x34
Da terceira equação:
x3 = 0 - 3x1 - 3x26 = -12x1 - 12x2
Passo 4
Agora, aplicamos o critério de Sassenfeld. Calculamos os coeficientes betai para cada variável, que são baseados nos coeficientes dos outros termos:
Para a equação 1 (relativa a x1):
beta1 = 15 (|1| beta2 + |1| beta3)
Para a equação 2 (relativa a x2):
beta2 = 14 (|3| beta1 + |1| beta3)
Para a equação 3 (relativa a x3):
beta3 = 16 (|3| beta1 + |3| beta2)
Inicialmente, fazemos beta1 = beta2 = beta3 = 1 e iteramos até que os valores se estabilizem.
Continuando até que não mude mais significativamente, percebemos que todos os betai < 1.
Passo 6
Como todos os coeficientes betai são menores que 1, de acordo com o critério de Sassenfeld, o Método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema.
Passo 7
Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel com o chute inicial x^(0) = (0, 0, 0)^t e uma precisão de epsilon = 10^-2.