Considere o sistema abaixo e responda:
(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis:
O conteúdo aqui envolve o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o critério de Sassenfeld para verificar se o método vai convergir e, depois, aplicar o método com um chute inicial de e uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o critério de Sassenfeld. Esse critério nos ajuda a saber se o Método de Gauss-Seidel vai funcionar bem, ou seja, se ele vai chegar perto da solução correta conforme fazemos as iterações.
O critério envolve reorganizar o sistema na forma iterativa e calcular certos coeficientes que, se satisfeitos, garantem a convergência do método. Para cada equação, isolamos uma variável e calculamos os coeficientes baseados nos outros termos.

Passo 3

Vamos reorganizar o sistema para facilitar o cálculo pelo critério de Sassenfeld. Vamos isolar cada :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:

Passo 4

Agora, aplicamos o critério de Sassenfeld. Calculamos os coeficientes para cada variável, que são baseados nos coeficientes dos outros termos:
Para a equação 1 (relativa a ):
Para a equação 2 (relativa a ):
Para a equação 3 (relativa a ):
Inicialmente, fazemos e iteramos até que os valores se estabilizem.

Passo 5

Vamos calcular as :
Substituindo :
Fazendo outra iteração:
Continuando até que não mude mais significativamente, percebemos que todos os .

Passo 6

Como todos os coeficientes são menores que 1, de acordo com o critério de Sassenfeld, o Método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema.

Passo 7

Agora que sabemos que o método vai funcionar, vamos aplicar o Método de Gauss-Seidel com o chute inicial e uma precisão de .
Vamos iterar usando as equações reorganizadas:
Vamos calcular cada iteração até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 8

Iteração 1:
Iteração 2:
Calculamos as diferenças:
Ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Iteração 3:
Diferenças:
Ainda precisamos continuar.

Passo 10

Iteração 4:
Diferenças:
Agora, todas as diferenças são menores que .

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Seidel é:

Exercícios relacionados

Dado o sistema de equações lineares:
(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Tome , faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com .
Dado o sistema de equações lineares:
(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente o erros cometidos do item (ii).
Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma , onde a matriz de iteração e o vetor são constantes. Utilizando a decomposição (onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando e para cada caso.
O método iterativo é convergente se, para alguma norma de matriz , (condição suficiente para convergência). Seja
a matriz de iteração de um sistema . Teste o critério de convergência para as normas abaixo.
  • Norma do Máximo (soma máxima de linha)
  • Norma 1 (soma máxima de coluna)