(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente o erros cometidos do item (ii).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas. O exercício pede para:
Reordenar as equações usando o critério de Sassenfeld.
Fazer três iterações do método de Gauss-Seidel com o sistema reordenado.
Comentar os erros cometidos nas iterações.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o critério de Sassenfeld e como funciona o método de Gauss-Seidel. Mas calma que a gente vai explicar tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos reordenar as equações usando o critério de Sassenfeld. Esse critério ajuda a verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir, ou seja, se vai chegar numa solução certinha.
O critério de Sassenfeld envolve calcular alguns valores chamados de para cada equação, que dependem dos coeficientes das incógnitas. A ideia é reorganizar as equações de forma que esses fiquem menores que 1.
Vamos analisar as equações:
Observando os coeficientes, vamos tentar colocar a equação com com o maior coeficiente primeiro. Assim, mantemos a ordem:
Passo 3
Agora que as equações estão reordenadas, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método resolve as incógnitas de forma iterativa, ou seja, faz suposições iniciais e vai refinando as soluções.
Primeiro, precisamos reescrever as equações isolando cada incógnita:
Vamos supor valores iniciais para , e . Vamos começar com zero para facilitar:
Agora, vamos fazer três iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Passo 4
Após as três iterações, percebemos que os valores das incógnitas estão variando bastante e não estão se aproximando de um valor fixo. Isso indica que pode estar ocorrendo uma divergência no método de Gauss-Seidel, possivelmente devido ao critério de Sassenfeld não estar totalmente atendido ou à escolha inicial pouco adequada.
Resposta
Após três iterações do método de Gauss-Seidel, as aproximações das soluções são: