Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma x^k+1=M x^k+c, onde a matriz de iteração M e o vetor c são constantes. Utilizando a decomposição A= D+E+F (onde D é uma matriz diagonal, E é uma matriz triangular inferior e F é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando M e c para cada caso.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Estamos trabalhando com métodos iterativos estacionários na forma . O objetivo é mostrar que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos dessa maneira, utilizando a decomposição da matriz , onde:
  • é a matriz diagonal,
  • é a matriz triangular inferior,
  • é a matriz triangular superior.
Para resolver isso, vamos precisar entender como cada método funciona e como aplicar a decomposição dada para encontrar as matrizes e o vetor para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como o método de Jacobi funciona. Nesse método, a próxima aproximação é calculada considerando que usamos apenas a matriz diagonal para atualizar os valores, mantendo as outras partes fixas.

Passo 3

No método de Jacobi, a iteração é dada por:
x^k+1 = D^-1(b - (E + F)x^k)
Aqui, estamos resolvendo , o que significa que:
  • Matriz de iteração :
  • Vetor constante :

Passo 4

Agora, vamos analisar o método de Gauss-Seidel. Este método também utiliza a decomposição , mas aqui atualizamos resolvendo a parte que inclui junto com .

Passo 5

No método de Gauss-Seidel, a iteração é dada por:
x^k+1 = (D + E)^-1(b - F x^k)
Isso significa que:
  • Matriz de iteração :
  • Vetor constante :

Resposta

Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos na forma M = -D^-1(E + F) e c = D^-1b com:
  • Método de Jacobi:
    M = -(D + E)^-1F e c = (D + E)^-1b
  • Método de Gauss-Seidel:

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