Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma
, onde a matriz de iteração
e o vetor
são constantes. Utilizando a decomposição
(onde
é uma matriz diagonal,
é uma matriz triangular inferior e
é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando
e
para cada caso.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Estamos trabalhando com métodos iterativos estacionários na forma
. O objetivo é mostrar que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos dessa maneira, utilizando a decomposição da matriz
, onde:
-
é a matriz diagonal, -
é a matriz triangular inferior, -
é a matriz triangular superior.
Para resolver isso, vamos precisar entender como cada método funciona e como aplicar a decomposição dada para encontrar as matrizes
e o vetor
para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como o método de Jacobi funciona. Nesse método, a próxima aproximação
é calculada considerando que usamos apenas a matriz diagonal
para atualizar os valores, mantendo as outras partes fixas.
Passo 3
No método de Jacobi, a iteração é dada por:
Aqui, estamos resolvendo
, o que significa que:
- Matriz de iteração
: - Vetor constante
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o método de Gauss-Seidel. Este método também utiliza a decomposição
, mas aqui atualizamos
resolvendo a parte que inclui
junto com
.
Passo 5
No método de Gauss-Seidel, a iteração é dada por:
Isso significa que:
- Matriz de iteração
: - Vetor constante
:
Resposta
Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos na forma
com:
-
Método de Jacobi:
-
Método de Gauss-Seidel: