Dado o sistema de equações lineares:
c x3=1 2 x1+2 x2=0 t x1+2 x2=0
(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para t de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Tome t=4, faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com x^0=(0,1 ; 0.1 ; 0.1)^t e epsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares e pede para:
  1. Parte (i): Fazer trocas de linhas e encontrar um intervalo de valores positivos para que satisfaça o critério de Sassenfeld.
  2. Parte (ii): Com , usar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema, começando com uma aproximação inicial e um erro máximo de .
Para isso, vamos precisar entender:
  • Sistemas de Equações Lineares: Equações que relacionam variáveis com coeficientes constantes.
  • Critério de Sassenfeld: Um método para verificar se o método iterativo de Gauss-Seidel vai convergir.
  • Método de Gauss-Seidel: Uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para ficar mais fácil de manipular:
x3 = 1 2x1 + 2x2 = 0 tx1 + 2x2 = 0

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para facilitar a aplicação do critério de Sassenfeld. Geralmente, o critério funciona melhor quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Para isso, podemos trocar as linhas:
Vamos reorganizar o sistema colocando a equação 2x1 + 2x2 = 0 tx1 + 2x2 = 0 x3 = 1 na terceira posição:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e identificar os termos principais e os termos “fora da diagonal”:
A = 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 0 & 0 & 1 , x = x1 x2 x3 , b = 0 0 1
Para o critério de Sassenfeld, calculamos os coeficientes betai = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| betaj ) que ajudam a determinar a convergência:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Começamos com beta1 = 1|2| (0) = 02 = 0 :
Para a primeira equação:
beta2 = 1|2| (|t| cdot beta1 + 0) = 12 (t cdot 0) = 0
Agora, para beta3 = 1|1| (0) = 0 :
E para :
Hmm, parece que todos os estão dando zero, o que não nos ajuda muito. Talvez precisamos reorganizar as equações de outra forma para obter coeficientes mais úteis.

Passo 6

Vamos tentar outra organização das equações para melhorar a análise. Vamos colocar a equação que envolve tx1 + 2x2 = 0 2x1 + 2x2 = 0 x3 = 1 em uma posição diferente:
A = t & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Agora, a matriz dos coeficientes fica:
Vamos recalcular os com essa organização.

Passo 7

Calculando os coeficientes beta1 = 1|t| (0) = 0 :
Para beta2 = 1|2| (|2| cdot beta1 + 0) = 12 (2 cdot 0) = 0 :
beta3 = 1|1| (0) = 0
Para :
E para :
Ainda não estamos obtendo informações úteis. Parece que a aplicação direta do critério de Sassenfeld não está nos dando condições claras para . Vamos então analisar a diagonal dominante.

Passo 8

Para o critério de Sassenfeld funcionar, geralmente é necessário que a matriz seja diagonalmente dominante, ou seja, que para cada linha, o valor na diagonal seja maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos verificar isso para nosso sistema reorganizado:
A = t & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Primeira Linha:
|t| >= |2|
Ou seja,
t >= 2
Segunda Linha:
|2| >= |2|
Isso já é verdade.
Terceira Linha:
|1| >= 0
Também é verdade.
Portanto, para que a matriz seja diagonalmente dominante e o critério de Sassenfeld seja satisfeito, precisamos que .

Resposta

(i) Após realizar as trocas de linhas, o critério de Sassenfeld é satisfeito para todos os valores positivos de maiores ou iguais a 2. Portanto, o intervalo de valores de é .

Exercícios relacionados