(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para t de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Tome t=4, faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com x^0=(0,1 ; 0.1 ; 0.1)^t eepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares e pede para:
Parte (i): Fazer trocas de linhas e encontrar um intervalo de valores positivos para que satisfaça o critério de Sassenfeld.
Parte (ii): Com , usar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema, começando com uma aproximação inicial e um erro máximo de .
Para isso, vamos precisar entender:
Sistemas de Equações Lineares: Equações que relacionam variáveis com coeficientes constantes.
Critério de Sassenfeld: Um método para verificar se o método iterativo de Gauss-Seidel vai convergir.
Método de Gauss-Seidel: Uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para ficar mais fácil de manipular:
x3 = 1 2x1 + 2x2 = 0 tx1 + 2x2 = 0
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para facilitar a aplicação do critério de Sassenfeld. Geralmente, o critério funciona melhor quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Para isso, podemos trocar as linhas:
Vamos reorganizar o sistema colocando a equação 2x1 + 2x2 = 0 tx1 + 2x2 = 0 x3 = 1 na terceira posição:
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e identificar os termos principais e os termos “fora da diagonal”:
A = 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 0 & 0 & 1 , x = x1 x2 x3 , b = 0 0 1
Para o critério de Sassenfeld, calculamos os coeficientes betai = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| betaj + sumj=i+1^n |aij| betaj ) que ajudam a determinar a convergência:
Hmm, parece que todos os estão dando zero, o que não nos ajuda muito. Talvez precisamos reorganizar as equações de outra forma para obter coeficientes mais úteis.
Passo 6
Vamos tentar outra organização das equações para melhorar a análise. Vamos colocar a equação que envolve tx1 + 2x2 = 0 2x1 + 2x2 = 0 x3 = 1 em uma posição diferente:
Ainda não estamos obtendo informações úteis. Parece que a aplicação direta do critério de Sassenfeld não está nos dando condições claras para . Vamos então analisar a diagonal dominante.
Passo 8
Para o critério de Sassenfeld funcionar, geralmente é necessário que a matriz seja diagonalmente dominante, ou seja, que para cada linha, o valor na diagonal seja maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos verificar isso para nosso sistema reorganizado:
A = t & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1
Primeira Linha:
|t| >= |2|
Ou seja,
t >= 2
Segunda Linha:
|2| >= |2|
Isso já é verdade.
Terceira Linha:
|1| >= 0
Também é verdade.
Portanto, para que a matriz seja diagonalmente dominante e o critério de Sassenfeld seja satisfeito, precisamos que .
Resposta
(i) Após realizar as trocas de linhas, o critério de Sassenfeld é satisfeito para todos os valores positivos de maiores ou iguais a 2. Portanto, o intervalo de valores de é .