Dado o sistema de equações lineares:
(i) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Tome , faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares e pede para:
  1. Parte (i): Fazer trocas de linhas e encontrar um intervalo de valores positivos para que satisfaça o critério de Sassenfeld.
  2. Parte (ii): Com , usar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema, começando com uma aproximação inicial e um erro máximo de .
Para isso, vamos precisar entender:
  • Sistemas de Equações Lineares: Equações que relacionam variáveis com coeficientes constantes.
  • Critério de Sassenfeld: Um método para verificar se o método iterativo de Gauss-Seidel vai convergir.
  • Método de Gauss-Seidel: Uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para ficar mais fácil de manipular:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para facilitar a aplicação do critério de Sassenfeld. Geralmente, o critério funciona melhor quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Para isso, podemos trocar as linhas:
Vamos reorganizar o sistema colocando a equação na terceira posição:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e identificar os termos principais e os termos “fora da diagonal”:
Para o critério de Sassenfeld, calculamos os coeficientes que ajudam a determinar a convergência:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Começamos com :
Para a primeira equação:
Agora, para :
E para :
Hmm, parece que todos os estão dando zero, o que não nos ajuda muito. Talvez precisamos reorganizar as equações de outra forma para obter coeficientes mais úteis.

Passo 6

Vamos tentar outra organização das equações para melhorar a análise. Vamos colocar a equação que envolve em uma posição diferente:
Agora, a matriz dos coeficientes fica:
Vamos recalcular os com essa organização.

Passo 7

Calculando os coeficientes :
Para :
Para :
E para :
Ainda não estamos obtendo informações úteis. Parece que a aplicação direta do critério de Sassenfeld não está nos dando condições claras para . Vamos então analisar a diagonal dominante.

Passo 8

Para o critério de Sassenfeld funcionar, geralmente é necessário que a matriz seja diagonalmente dominante, ou seja, que para cada linha, o valor na diagonal seja maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos verificar isso para nosso sistema reorganizado:
Primeira Linha:
Ou seja,
Segunda Linha:
Isso já é verdade.
Terceira Linha:
Também é verdade.
Portanto, para que a matriz seja diagonalmente dominante e o critério de Sassenfeld seja satisfeito, precisamos que .

Resposta

(i) Após realizar as trocas de linhas, o critério de Sassenfeld é satisfeito para todos os valores positivos de maiores ou iguais a 2. Portanto, o intervalo de valores de é .

Exercícios relacionados

Dado o sistema de equações lineares:
(i) Reordene as equações de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito.
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
(iii) Comente o erros cometidos do item (ii).
Resolver o sistema linear
pelos métodos:
a) Eliminação de Gauss, sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
b) Decomposição , sem estratégia de pivoteamento e com estratégia de pivoteamento parcial.
c) Iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel com , usando , se as condições de convergência forem satisfeitas.
Considere o sistema abaixo e responda:
(a) Verifique se o Método de Gauss-Seidel é convergente usando o critério de Sassenfeld.
(b) Aplique o Método de Gauss-Seidel com e .
Um método iterativo estacionário pode ser escrito na forma , onde a matriz de iteração e o vetor são constantes. Utilizando a decomposição (onde é uma matriz diagonal, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior) mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel podem ser escritos nessa forma, explicitando e para cada caso.