Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel! Primeiro, dá uma olhada no enunciado: temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares e o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para garantir que o método funcione direitinho, vamos precisar deixar a matriz do sistema dominante diagonalmente. Isso significa que, em cada equação, o coeficiente da variável principal (diagonal) deve ser maior ou igual à soma dos outros coeficientes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações que você mandou:
A ideia aqui é reorganizar essas equações para que a diagonal principal tenha coeficientes que facilitem a aplicação do Gauss-Seidel. Vamos verificar se existe uma ordem que torne a matriz dominante diagonalmente.
Passo 3
Vamos tentar reorganizar as equações para que a diagonal fique mais forte. Olhando as equações, percebemos que algumas têm coeficientes maiores nas variáveis principais:
A segunda equação tem um coeficiente de 2 para , o que é bom.
A primeira equação tem 2 para .
A terceira equação tem 2 para .
A quarta equação tem 1 para , que é menor, mas vamos ver.
Vamos reordenar assim:
Segunda equação:
Primeira equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz está dominante diagonalmente:
Primeira equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Como , está ótimo.
Segunda equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Igual, mas ainda funciona para o método.
Terceira equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Igual novamente.
Quarta equação reorganizada: Coeficiente de é 1. Soma dos outros coeficientes: . Igual também.
Todas as equações atendem a condição de , então a matriz está dominante diagonalmente e o Método de Gauss-Seidel vai convergir.
Passo 5
Agora que temos o sistema reordenado e garantimos a convergência, vamos escrever as iterações do Método de Gauss-Seidel. Vamos isolar cada variável:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Essas fórmulas vão servir para a gente fazer as iterações, ou seja, usar valores iniciais e ir atualizando as incógnitas até chegar numa solução próxima.
Resposta
Reordenando o sistema para que seja diagonalmente dominante:
Com isso, aplicamos o Método de Gauss-Seidel garantindo a convergência das soluções.