Considere o sistema
l -x1+2 x2-x3=1 2 x1-x2=1 -x2+2 x3-x4=1 -x3+x4=1
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss-Seidel! Primeiro, dá uma olhada no enunciado: temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares e o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para garantir que o método funcione direitinho, vamos precisar deixar a matriz do sistema dominante diagonalmente. Isso significa que, em cada equação, o coeficiente da variável principal (diagonal) deve ser maior ou igual à soma dos outros coeficientes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que você mandou:
l -x1 + 2 x2 - x3 = 1 2 x1 - x2 = 1 -x2 + 2 x3 - x4 = 1 - x3 + x4 = 1
A ideia aqui é reorganizar essas equações para que a diagonal principal tenha coeficientes que facilitem a aplicação do Gauss-Seidel. Vamos verificar se existe uma ordem que torne a matriz dominante diagonalmente.

Passo 3

Vamos tentar reorganizar as equações para que a diagonal fique mais forte. Olhando as equações, percebemos que algumas têm coeficientes maiores nas variáveis principais:
  1. A segunda equação tem um coeficiente de 2 para , o que é bom.
  2. A primeira equação tem 2 para .
  3. A terceira equação tem 2 para .
  4. A quarta equação tem 1 para , que é menor, mas vamos ver.
Vamos reordenar assim:
  1. Segunda equação:
  2. Primeira equação:
  3. Terceira equação:
  4. Quarta equação:

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz está dominante diagonalmente:
  1. Primeira equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Como , está ótimo.
  2. Segunda equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Igual, mas ainda funciona para o método.
  3. Terceira equação reorganizada: Coeficiente de é 2. Soma dos outros coeficientes: . Igual novamente.
  4. Quarta equação reorganizada: Coeficiente de é 1. Soma dos outros coeficientes: . Igual também.
Todas as equações atendem a condição de , então a matriz está dominante diagonalmente e o Método de Gauss-Seidel vai convergir.

Passo 5

Agora que temos o sistema reordenado e garantimos a convergência, vamos escrever as iterações do Método de Gauss-Seidel. Vamos isolar cada variável:
  1. Primeira equação: x1 = 1 + x22
  2. Segunda equação: x2 = 1 + x1 + x32
  3. Terceira equação: x3 = 1 + x2 + x42
  4. Quarta equação: x4 = 1 + x3
Essas fórmulas vão servir para a gente fazer as iterações, ou seja, usar valores iniciais e ir atualizando as incógnitas até chegar numa solução próxima.

Resposta

Reordenando o sistema para que seja diagonalmente dominante:
l 2x1 - x2 = 1 -x1 + 2x2 - x3 = 1 - x2 + 2x3 - x4 = 1 - x3 + x4 = 1
Com isso, aplicamos o Método de Gauss-Seidel garantindo a convergência das soluções.

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