Seja o sistema de equações algébricas lineares cuja matriz completa é dada por
A=(ccccc 10 & -3 & alpha & 4 & beta 0 & 9 & beta & 5 & alpha 1 & -1 & 10 & 2 & alpha 0 & 1 & 2 & -beta & 1 )
Determine o intervalo de valores que alpha e beta podem assumir de modo que o sistema possa ser resolvido através do método Gauss-Seidel com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com uma matriz de coeficientes que depende de dois parâmetros, α e β. A parada é descobrir quais valores esses parâmetros podem assumir para que a gente consiga resolver o sistema usando o método de Gauss-Seidel e garantir que ele vai convergir, ou seja, que a gente vai chegar numa solução certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Gauss-Seidel. Esse método iterativo é usado para resolver sistemas de equações lineares e ele converge, ou seja, funciona bem, se a matriz dos coeficientes tiver certas propriedades. Uma dessas propriedades importantes é a domínio diagonal. Isso significa que, em cada linha da matriz, o valor na diagonal principal (o número que está na posição onde a linha e a coluna são iguais) é maior em valor absoluto do que a soma dos valores absolutos dos outros elementos na mesma linha.

Passo 3

Então, nosso objetivo aqui é garantir que a matriz A=(ccccc 10 & -3 & alpha & 4 & beta 0 & 9 & beta & 5 & alpha 1 & -1 & 10 & 2 & alpha 0 & 1 & 2 & -beta & 1 ) seja diagonalmente dominante. Vamos dar uma olhada na matriz:
Vamos verificar cada linha para garantir a dominance diagonal.

Passo 4

Primeira linha:
O elemento da diagonal é 10. Vamos somar os valores absolutos dos outros elementos:
| -3 | + | alpha | + | 4 | + | beta | = 3 + |alpha| + 4 + |beta| = 7 + |alpha| + |beta|
Para dominar, precisamos que:
10 > 7 + |alpha| + |beta|
Rearranjando:
|alpha| + |beta| < 3

Passo 5

Segunda linha:
O elemento da diagonal é 9. Os outros elementos são 0, β, 5 e α. A soma dos valores absolutos:
|0| + |beta| + |5| + |alpha| = 0 + |beta| + 5 + |alpha| = 5 + |alpha| + |beta|
Para dominar:
9 > 5 + |alpha| + |beta|
Rearranjando:
|alpha| + |beta| < 4

Passo 6

Terceira linha:
O elemento da diagonal é 10. Os outros elementos são 1, -1, 2 e α. A soma dos valores absolutos:
|1| + |-1| + |2| + |alpha| = 1 + 1 + 2 + |alpha| = 4 + |alpha|
Para dominar:
10 > 4 + |alpha|
Rearranjando:
|alpha| < 6

Passo 7

Quarta linha:
O elemento da diagonal é |-beta| = |beta| . Primeiro, vamos considerar o valor absoluto:
|0| + |1| + |2| + |1| = 0 + 1 + 2 + 1 = 4
Os outros elementos são 0, 1, 2 e 1. A soma dos valores absolutos:
|beta| > 4
Para dominar:

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as condições que obtivemos:
  1. (Essa condição já é menos restritiva que a primeira, então não precisa considerar)
A condição mais restritiva aqui é que e . Mas vamos analisar:
Se e , isso implicaria que . Mas se , então seria negativo, o que não faz sentido para valores absolutos. Isso significa que não existe nenhuma combinação de α e β que satisfaça todas as condições ao mesmo tempo.

Resposta

Não existem valores de α e β que tornem a matriz diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método de Gauss-Seidel para esse sistema.

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