Seja o sistema de equações algébricas lineares cuja matriz completa é dada por
Determine o intervalo de valores que e podem assumir de modo que o sistema possa ser resolvido através do método Gauss-Seidel com garantia de convergência.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com uma matriz de coeficientes que depende de dois parâmetros, α e β. A parada é descobrir quais valores esses parâmetros podem assumir para que a gente consiga resolver o sistema usando o método de Gauss-Seidel e garantir que ele vai convergir, ou seja, que a gente vai chegar numa solução certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o método de Gauss-Seidel. Esse método iterativo é usado para resolver sistemas de equações lineares e ele converge, ou seja, funciona bem, se a matriz dos coeficientes tiver certas propriedades. Uma dessas propriedades importantes é a domínio diagonal. Isso significa que, em cada linha da matriz, o valor na diagonal principal (o número que está na posição onde a linha e a coluna são iguais) é maior em valor absoluto do que a soma dos valores absolutos dos outros elementos na mesma linha.

Passo 3

Então, nosso objetivo aqui é garantir que a matriz seja diagonalmente dominante. Vamos dar uma olhada na matriz:
Vamos verificar cada linha para garantir a dominance diagonal.

Passo 4

Primeira linha:
O elemento da diagonal é 10. Vamos somar os valores absolutos dos outros elementos:
Para dominar, precisamos que:
Rearranjando:

Passo 5

Segunda linha:
O elemento da diagonal é 9. Os outros elementos são 0, β, 5 e α. A soma dos valores absolutos:
Para dominar:
Rearranjando:

Passo 6

Terceira linha:
O elemento da diagonal é 10. Os outros elementos são 1, -1, 2 e α. A soma dos valores absolutos:
Para dominar:
Rearranjando:

Passo 7

Quarta linha:
O elemento da diagonal é . Primeiro, vamos considerar o valor absoluto:
Os outros elementos são 0, 1, 2 e 1. A soma dos valores absolutos:
Para dominar:

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as condições que obtivemos:
  1. (Essa condição já é menos restritiva que a primeira, então não precisa considerar)
A condição mais restritiva aqui é que e . Mas vamos analisar:
Se e , isso implicaria que . Mas se , então seria negativo, o que não faz sentido para valores absolutos. Isso significa que não existe nenhuma combinação de α e β que satisfaça todas as condições ao mesmo tempo.

Resposta

Não existem valores de α e β que tornem a matriz diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método de Gauss-Seidel para esse sistema.

Exercícios relacionados

Considere o sistema
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
d.
Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
a.
Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
c.