Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com
.
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O enunciado nos dá o sistema:
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente métodos iterativos para resolver sistemas lineares. O método de Jacobi é uma técnica que vai nos ajudar a encontrar os valores de
e
de forma aproximada, refinando os valores passo a passo até que a diferença entre as aproximações seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações de forma que cada variável esteja isolada em um dos lados. Isso é importante para o método de Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
A partir do sistema original:
-
podemos isolar : -
podemos isolar :
Passo 3
Agora, vamos escolher valores iniciais para
e
. Uma escolha comum é começar com
e
.
Então, nossa primeira aproximação é:
Passo 4
Vamos aplicar as fórmulas que isolamos para encontrar as próximas aproximações.
Para a primeira iteração (
):
Passo 5
Fazemos a segunda iteração (
) usando os valores mais recentes:
Passo 6
Continuamos com a terceira iteração (
):
Passo 7
Vamos para a quarta iteração (
):
Passo 8
E na quinta iteração (
):
Passo 9
Vamos verificar se a diferença entre as últimas duas aproximações é menor que
. Olhando para
e
, a diferença é
, que é menor que
.
Resposta
Portanto, após 5 iterações, as soluções aproximadas são: