Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O enunciado nos dá o sistema:
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente métodos iterativos para resolver sistemas lineares. O método de Jacobi é uma técnica que vai nos ajudar a encontrar os valores de e de forma aproximada, refinando os valores passo a passo até que a diferença entre as aproximações seja menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações de forma que cada variável esteja isolada em um dos lados. Isso é importante para o método de Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
A partir do sistema original:
podemos isolar :
podemos isolar :
Passo 3
Agora, vamos escolher valores iniciais para e . Uma escolha comum é começar com e .
Então, nossa primeira aproximação é:
Passo 4
Vamos aplicar as fórmulas que isolamos para encontrar as próximas aproximações.
Para a primeira iteração ():
Passo 5
Fazemos a segunda iteração () usando os valores mais recentes:
Passo 6
Continuamos com a terceira iteração ():
Passo 7
Vamos para a quarta iteração ():
Passo 8
E na quinta iteração ():
Passo 9
Vamos verificar se a diferença entre as últimas duas aproximações é menor que . Olhando para e , a diferença é , que é menor que .
Resposta
Portanto, após 5 iterações, as soluções aproximadas são: