Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com de.
b.
l 2 x1+x2=2 x1+3 x2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O enunciado nos dá o sistema:
2x1 + x2 = 2 x1 + 3x2 = 1
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente métodos iterativos para resolver sistemas lineares. O método de Jacobi é uma técnica que vai nos ajudar a encontrar os valores de e de forma aproximada, refinando os valores passo a passo até que a diferença entre as aproximações seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações de forma que cada variável esteja isolada em um dos lados. Isso é importante para o método de Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
A partir do sistema original:
  1. x1 = 2 - x22 podemos isolar x2 = 1 - x13 :
  2. podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos escolher valores iniciais para x1^(0) = 0 x2^(0) = 0 e . Uma escolha comum é começar com e .
Então, nossa primeira aproximação é:

Passo 4

Vamos aplicar as fórmulas que isolamos para encontrar as próximas aproximações.
Para a primeira iteração ( x1^(1) = 2 - x2^(0)2 = 2 - 02 = 1 x2^(1) = 1 - x1^(0)3 = 1 - 03 approx 0,3333 ):

Passo 5

Fazemos a segunda iteração ( x1^(2) = 2 - x2^(1)2 = 2 - 0,33332 approx 0,8333 x2^(2) = 1 - x1^(1)3 = 1 - 13 = 0 ) usando os valores mais recentes:

Passo 6

Continuamos com a terceira iteração ( x1^(3) = 2 - x2^(2)2 = 2 - 02 = 1 x2^(3) = 1 - x1^(2)3 = 1 - 0,83333 approx 0,0556 ):

Passo 7

Vamos para a quarta iteração ( x1^(4) = 2 - x2^(3)2 = 2 - 0,05562 approx 0,9722 x2^(4) = 1 - x1^(3)3 = 1 - 13 = 0 ):

Passo 8

E na quinta iteração ( x1^(5) = 2 - x2^(4)2 = 2 - 02 = 1 x2^(5) = 1 - x1^(4)3 = 1 - 0,97223 approx 0,0093 ):

Passo 9

Vamos verificar se a diferença entre as últimas duas aproximações é menor que . Olhando para e , a diferença é , que é menor que .

Resposta

Portanto, após 5 iterações, as soluções aproximadas são:
x1 approx 1 x2 approx 0,0093

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