Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com de.
d.
l 10 x1+2 x2-3 x3+5 x4=48 x1+8 x2-x3+2 x4=4 2 x1-x2-5 x3+x4=-11 -x1+2 x2+3 x3+20 x4=150

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. Esse método é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente precisa ter o sistema organizado de forma que cada variável esteja isolada em uma das equações. Também vamos usar uma precisão de de para saber quando parar as iterações. Vamos precisar reorganizar as equações e seguir os passos do método de Jacobi para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita as iterações do método de Jacobi. Vamos iniciar isolando x1, x2, x3 e x4 em cada uma das quatro equações:
x1 = 48 - 2x2 + 3x3 - 5x410 x2 = 4 - x1 + x3 - 2x48 x3 = -11 - 2x1 + x2 - x4-5 x4 = 150 + x1 - 2x2 - 3x320

Passo 3

Agora, escolhemos uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, a gente começa com 0 para todas:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0, x4^(0) = 0

Passo 4

Vamos calcular os valores das variáveis na primeira iteração ( k=1) usando as fórmulas que isolamos:
x1^(1) = 48 - 2(0) + 3(0) - 5(0)10 = 4810 = 4,8 x2^(1) = 4 - 0 + 0 - 2(0)8 = 48 = 0,5 x3^(1) = -11 - 2(0) + 0 - 0-5 = -11-5 = 2,2 x4^(1) = 150 + 0 - 2(0) - 3(0)20 = 15020 = 7,5

Passo 5

Agora, com os valores de k=1, vamos para a segunda iteração ( k=2):
x1^(2) = 48 - 2(0,5) + 3(2,2) - 5(7,5)10 = 48 - 1 + 6,6 - 37,510 = 16,110 = 1,61 x2^(2) = 4 - 4,8 + 2,2 - 2(7,5)8 = 4 - 4,8 + 2,2 - 158 = -13,68 = -1,7 x3^(2) = -11 - 2(4,8) + 0,5 - 7,5-5 = -11 - 9,6 + 0,5 - 7,5-5 = -28,6-5 = 5,72 x4^(2) = 150 + 4,8 - 2(0,5) - 3(2,2)20 = 150 + 4,8 - 1 - 6,620 = 147,220 = 7,36

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre as iterações para cada variável. Se todas as diferenças forem menores que de, paramos. Caso contrário, continuamos.
|x1^(2) - x1^(1)| = |1,61 - 4,8| = 3,19 |x2^(2) - x2^(1)| = |-1,7 - 0,5| = 2,2 |x3^(2) - x3^(1)| = |5,72 - 2,2| = 3,52 |x4^(2) - x4^(1)| = |7,36 - 7,5| = 0,14
Como todas as diferenças não são menores que 0,01, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuamos com a terceira iteração ( k=3) usando os valores de k=2:
x1^(3) = 48 - 2(-1,7) + 3(5,72) - 5(7,36)10 = 48 + 3,4 + 17,16 - 36,810 = 31,7610 = 3,176 x2^(3) = 4 - 1,61 + 5,72 - 2(7,36)8 = 4 - 1,61 + 5,72 - 14,728 = -6,618 = -0,82625 x3^(3) = -11 - 2(1,61) + (-1,7) - 7,36-5 = -11 - 3,22 - 1,7 - 7,36-5 = -23,28-5 = 4,656 x4^(3) = 150 + 1,61 - 2(-1,7) - 3(5,72)20 = 150 + 1,61 + 3,4 - 17,1620 = 138,8520 = 6,9425

Passo 8

Novamente, verificamos as diferenças:
|x1^(3) - x1^(2)| = |3,176 - 1,61| = 1,566 |x2^(3) - x2^(2)| = |-0,82625 - (-1,7)| = 0,87375 |x3^(3) - x3^(2)| = |4,656 - 5,72| = 1,064 |x4^(3) - x4^(2)| = |6,9425 - 7,36| = 0,4175
Como ainda tem diferenças maiores que 0,01, vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Prosseguimos com a quarta iteração ( k=4):
x1^(4) = 48 - 2(-0,82625) + 3(4,656) - 5(6,9425)10 = 48 + 1,6525 + 13,968 - 34,712510 = 28,90810 = 2,8908 x2^(4) = 4 - 3,176 + 4,656 - 2(6,9425)8 = 4 - 3,176 + 4,656 - 13,8858 = -8,4058 = -1,0506 x3^(4) = -11 - 2(3,176) + (-0,82625) - 6,9425-5 = -11 - 6,352 - 0,82625 - 6,9425-5 = -25,12075-5 = 5,02415 x4^(4) = 150 + 3,176 - 2(-0,82625) - 3(4,656)20 = 150 + 3,176 + 1,6525 - 13,96820 = 140,8620 = 7,043

Passo 10

Verificamos mais uma vez as diferenças:
|x1^(4) - x1^(3)| = |2,8908 - 3,176| = 0,2852 |x2^(4) - x2^(3)| = |-1,0506 - (-0,82625)| = 0,22435 |x3^(4) - x3^(3)| = |5,02415 - 4,656| = 0,36815 |x4^(4) - x4^(3)| = |7,043 - 6,9425| = 0,1005
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 11

Continuamos com a quinta iteração ( k=5):
x1^(5) = 48 - 2(-1,0506) + 3(5,02415) - 5(7,043)10 = 48 + 2,1012 + 15,07245 - 35,21510 = 29,9586510 = 2,995865 x2^(5) = 4 - 2,8908 + 5,02415 - 2(7,043)8 = 4 - 2,8908 + 5,02415 - 14,0868 = -7,952658 = -0,99408125 x3^(5) = -11 - 2(2,8908) + (-1,0506) - 7,043-5 = -11 - 5,7816 - 1,0506 - 7,043-5 = -24,8752-5 = 4,97504 x4^(5) = 150 + 2,8908 - 2(-1,0506) - 3(5,02415)20 = 150 + 2,8908 + 2,1012 - 15,0724520 = 139,9193520 = 6,9960

Passo 12

Verificamos as diferenças novamente:
|x1^(5) - x1^(4)| = |2,995865 - 2,8908| = 0,105065 |x2^(5) - x2^(4)| = |-0,99408125 - (-1,0506)| = 0,05651875 |x3^(5) - x3^(4)| = |4,97504 - 5,02415| = 0,04911 |x4^(5) - x4^(4)| = |6,9960 - 7,043| = 0,047
Ainda temos diferenças maiores que 0,01, então vamos para mais uma iteração.

Passo 13

Realizamos a sexta iteração ( k=6):
x1^(6) = 48 - 2(-0,99408125) + 3(4,97504) - 5(6,9960)10 = 48 + 1,9881625 + 14,92512 - 34,9810 = 29,933282510 = 2,99332825 x2^(6) = 4 - 2,995865 + 4,97504 - 2(6,9960)8 = 4 - 2,995865 + 4,97504 - 13,9928 = -8,0128258 = -1,001603125 x3^(6) = -11 - 2(2,995865) + (-0,99408125) - 6,9960-5 = -11 - 5,99173 - 0,99408125 - 6,996-5 = -24,98181125-5 = 4,99636225 x4^(6) = 150 + 2,99332825 - 2(-0,99408125) - 3(4,97504)20 = 150 + 2,99332825 + 1,9881625 - 14,9251220 = 140,0563907520 = 7,0028195375

Passo 14

Mais uma vez, verificamos as diferenças:
|x1^(6) - x1^(5)| = |2,99332825 - 2,995865| = 0,00253675 |x2^(6) - x2^(5)| = |-1,001603125 - (-0,99408125)| = 0,007521875 |x3^(6) - x3^(5)| = |4,99636225 - 4,97504| = 0,02132225 |x4^(6) - x4^(5)| = |7,0028195375 - 6,9960| = 0,0068195375
Agora, a maioria das diferenças está abaixo de 0,01, exceto para x3. Vamos fazer mais uma iteração para garantir a precisão.

Passo 15

Realizamos a sétima iteração ( k=7):
x1^(7) = 48 - 2(-1,001603125) + 3(4,99636225) - 5(7,0028195375)10 = 48 + 2,00320625 + 14,98908675 - 35,014097687510 = 29,978195312510 = 2,99781953125 x2^(7) = 4 - 2,99332825 + 4,99636225 - 2(7,0028195375)8 = 4 - 2,99332825 + 4,99636225 - 14,0056390758 = -8,0026058 = -1,000325625 x3^(7) = -11 - 2(2,99332825) + (-1,001603125) - 7,0028195375-5 = -11 - 5,9866565 - 1,001603125 - 7,0028195375-5 = -24,9900781625-5 = 4,9980156325 x4^(7) = 150 + 2,99781953125 - 2(-1,001603125) - 3(4,99636225)20 = 150 + 2,99781953125 + 2,00320625 - 14,9890867520 = 140,0129390312520 = 7,0006469515625

Passo 16

Verificamos as diferenças finais:
|x1^(7) - x1^(6)| = |2,99781953125 - 2,99332825| = 0,00449128125 |x2^(7) - x2^(6)| = |-1,000325625 - (-1,001603125)| = 0,0012775 |x3^(7) - x3^(6)| = |4,9980156325 - 4,99636225| = 0,0016533825 |x4^(7) - x4^(6)| = |7,0006469515625 - 7,0028195375| = 0,0021725869375
Agora, todas as diferenças estão abaixo de de. Então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi com de é:
x1 approx 2,998 x2 approx -1,000 x3 approx 4,998 x4 approx 7,001

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