Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. Esse método é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente precisa ter o sistema organizado de forma que cada variável esteja isolada em uma das equações. Também vamos usar uma precisão de para saber quando parar as iterações. Vamos precisar reorganizar as equações e seguir os passos do método de Jacobi para chegar na solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita as iterações do método de Jacobi. Vamos iniciar isolando , , e em cada uma das quatro equações:
Passo 3
Agora, escolhemos uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, a gente começa com para todas:
Passo 4
Vamos calcular os valores das variáveis na primeira iteração () usando as fórmulas que isolamos:
Passo 5
Agora, com os valores de , vamos para a segunda iteração ():
Passo 6
Vamos verificar a diferença entre as iterações para cada variável. Se todas as diferenças forem menores que , paramos. Caso contrário, continuamos.
Como todas as diferenças não são menores que 0,01, precisamos continuar iterando.
Passo 7
Continuamos com a terceira iteração () usando os valores de :
Passo 8
Novamente, verificamos as diferenças:
Como ainda tem diferenças maiores que 0,01, vamos para a próxima iteração.
Passo 9
Prosseguimos com a quarta iteração ():
Passo 10
Verificamos mais uma vez as diferenças:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para a próxima iteração.
Passo 11
Continuamos com a quinta iteração ():
Passo 12
Verificamos as diferenças novamente:
Ainda temos diferenças maiores que 0,01, então vamos para mais uma iteração.
Passo 13
Realizamos a sexta iteração ():
Passo 14
Mais uma vez, verificamos as diferenças:
Agora, a maioria das diferenças está abaixo de 0,01, exceto para . Vamos fazer mais uma iteração para garantir a precisão.
Passo 15
Realizamos a sétima iteração ():
Passo 16
Verificamos as diferenças finais:
Agora, todas as diferenças estão abaixo de . Então podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi com é: