Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. Esse método é uma técnica para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente precisa ter o sistema organizado de forma que cada variável esteja isolada em uma das equações. Também vamos usar uma precisão de para saber quando parar as iterações. Vamos precisar reorganizar as equações e seguir os passos do método de Jacobi para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Isso facilita as iterações do método de Jacobi. Vamos iniciar isolando , , e em cada uma das quatro equações:

Passo 3

Agora, escolhemos uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, a gente começa com para todas:

Passo 4

Vamos calcular os valores das variáveis na primeira iteração ( ) usando as fórmulas que isolamos:

Passo 5

Agora, com os valores de , vamos para a segunda iteração ( ):

Passo 6

Vamos verificar a diferença entre as iterações para cada variável. Se todas as diferenças forem menores que , paramos. Caso contrário, continuamos.
Como todas as diferenças não são menores que 0,01, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuamos com a terceira iteração ( ) usando os valores de :

Passo 8

Novamente, verificamos as diferenças:
Como ainda tem diferenças maiores que 0,01, vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Prosseguimos com a quarta iteração ( ):

Passo 10

Verificamos mais uma vez as diferenças:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 11

Continuamos com a quinta iteração ( ):

Passo 12

Verificamos as diferenças novamente:
Ainda temos diferenças maiores que 0,01, então vamos para mais uma iteração.

Passo 13

Realizamos a sexta iteração ( ):

Passo 14

Mais uma vez, verificamos as diferenças:
Agora, a maioria das diferenças está abaixo de 0,01, exceto para . Vamos fazer mais uma iteração para garantir a precisão.

Passo 15

Realizamos a sétima iteração ( ):

Passo 16

Verificamos as diferenças finais:
Agora, todas as diferenças estão abaixo de . Então podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi com é:

Exercícios relacionados

Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
b.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
a.
Considere o sistema
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Seja o sistema de equações algébricas lineares cuja matriz completa é dada por
Determine o intervalo de valores que e podem assumir de modo que o sistema possa ser resolvido através do método Gauss-Seidel com garantia de convergência.