Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e
de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) | Cascalho <br> Fino (%) | Cascalho <br> Grosso (%) | |
---|---|---|---|
Mina 1 | 55 | 30 | 15 |
Mina 2 | 25 | 45 | 30 |
Mina 3 | 25 | 20 | 55 |
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e
do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e
.
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um engenheiro civil que precisa de quantidades específicas de areia, cascalho fino e cascalho grosso para uma construção. Ele pode obter esses materiais de três minas diferentes, cada uma com porcentagens diferentes de cada material. Nosso objetivo aqui é montar um sistema de equações lineares que vai ajudar o engenheiro a descobrir quanto ele precisa extrair de cada mina para atender suas necessidades.
Vamos precisar usar conhecimento sobre sistemas lineares e proporção, já que estamos lidando com porcentagens de cada material em cada mina.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: metros cúbicos a serem extraídos da Mina 1 -
: metros cúbicos a serem extraídos da Mina 2 -
: metros cúbicos a serem extraídos da Mina 3
Agora, vamos montar as equações com base nas porcentagens de cada material em cada mina e nas necessidades totais do engenheiro.
Passo 3
Para a areia:
Isso porque a Mina 1 tem 55% de areia, a Mina 2 tem 25% e a Mina 3 também tem 25%.
Passo 4
Para o cascalho fino:
A Mina 1 tem 30% de cascalho fino, a Mina 2 tem 45% e a Mina 3 tem 20%.
Passo 5
Para o cascalho grosso:
A Mina 1 contribui com 15% de cascalho grosso, a Mina 2 com 30% e a Mina 3 com 55%.
Resposta
O sistema linear que o engenheiro precisa resolver é: