Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) Cascalho <br> Fino (%) Cascalho <br> Grosso (%)
Mina 1 55 30 15
Mina 2 25 45 30
Mina 3 25 20 55
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e .
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um engenheiro civil que precisa de quantidades específicas de areia, cascalho fino e cascalho grosso para uma construção. Ele pode obter esses materiais de três minas diferentes, cada uma com porcentagens diferentes de cada material. Nosso objetivo aqui é montar um sistema de equações lineares que vai ajudar o engenheiro a descobrir quanto ele precisa extrair de cada mina para atender suas necessidades.
Vamos precisar usar conhecimento sobre sistemas lineares e proporção, já que estamos lidando com porcentagens de cada material em cada mina.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • : metros cúbicos a serem extraídos da Mina 1
  • : metros cúbicos a serem extraídos da Mina 2
  • : metros cúbicos a serem extraídos da Mina 3
Agora, vamos montar as equações com base nas porcentagens de cada material em cada mina e nas necessidades totais do engenheiro.

Passo 3

Para a areia:
Isso porque a Mina 1 tem 55% de areia, a Mina 2 tem 25% e a Mina 3 também tem 25%.

Passo 4

Para o cascalho fino:
A Mina 1 tem 30% de cascalho fino, a Mina 2 tem 45% e a Mina 3 tem 20%.

Passo 5

Para o cascalho grosso:
A Mina 1 contribui com 15% de cascalho grosso, a Mina 2 com 30% e a Mina 3 com 55%.

Resposta

O sistema linear que o engenheiro precisa resolver é:

Exercícios relacionados

Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Seja um sistema linear onde e . A função calcula o raio espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a convergência, que relação podemos esperar entre e ? Justifique sua resposta.
Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com
b) com
c)
Sejam as matrizes . Calcule:
b)
c)
d)
e)