Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com
b) com
c)

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações
utilizando o método de Gauss-Jacobi com a condição inicial para todo e uma tolerância . O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, e para usá-lo precisamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Para o nosso sistema:
1ª equação: ✔️
2ª equação: ✔️
Como ambas as linhas satisfazem essa condição, podemos usar o método de Gauss-Jacobi.

Passo 3

Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:

Passo 4

Definimos as iterações começando com e .
Iteração 1:

Passo 5

Iteração 2:
Calculamos a diferença entre as iterações:
Como a maior diferença é igual à nossa tolerância , podemos encerrar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema é e .

Exercícios relacionados

Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%) Cascalho <br> Fino (%) Cascalho <br> Grosso (%)
Mina 1 55 30 15
Mina 2 25 45 30
Mina 3 25 20 55
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessidades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as matrizes de iteração do MJ e do MGS.
© Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração e .
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método tomando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada . Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere o sistema lienar:
Reordene as equações convenientemente e aplique o método de Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Sejam as matrizes . Calcule:
b)
c)
d)
e)
Dado o vetor , calcular
a)
b)
c)