Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com
b) com
c)
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações
utilizando o método de Gauss-Jacobi com a condição inicial para todo e uma tolerância . O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, e para usá-lo precisamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Para o nosso sistema:
1ª equação: → ✔️
2ª equação: → ✔️
Como ambas as linhas satisfazem essa condição, podemos usar o método de Gauss-Jacobi.
Passo 3
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
Passo 4
Definimos as iterações começando com e .
Iteração 1:
Passo 5
Iteração 2:
Calculamos a diferença entre as iterações:
Como a maior diferença é igual à nossa tolerância , podemos encerrar as iterações.