Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com . Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) com
b) com varepsilon=0,5
c) l5 x1+2 x2+x3=12 3 x1+8 x2-2 x3=-25 com varepsilon=2,4 x1-2 x2+4 x3=6
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações
3x1 + x2 = 5 x1 + 4x2 = 6
utilizando o método de Gauss-Jacobi com a condição inicial para todo e uma tolerância . O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, e para usá-lo precisamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Para o nosso sistema:
1ª equação: → ✔️
2ª equação: → ✔️
Como ambas as linhas satisfazem essa condição, podemos usar o método de Gauss-Jacobi.
Passo 3
Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
x1 = 5 - x23 x2 = 6 - x14
Passo 4
Definimos as iterações começando com x1^1 = 5 - 03 = 53 approx 1,6667 x2^1 = 6 - 04 = 64 = 1,5 e .