Resolva os seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jacobi com xi^0=0 forall i. Primeiramente, mostre que esse método realmente pode ser utilizado.
a) l3 x1+x2=5 x1+4 x2=6 com varepsilon=0,5
b) l10 x1-x2+2 x3=6 -x1+11 x2-x3=25 2 x1-x2+10 x3=-11 com varepsilon=0,5
c) l5 x1+2 x2+x3=12 3 x1+8 x2-2 x3=-25 com varepsilon=2,4 x1-2 x2+4 x3=6

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações
3x1 + x2 = 5 x1 + 4x2 = 6
utilizando o método de Gauss-Jacobi com a condição inicial para todo e uma tolerância . O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares, e para usá-lo precisamos verificar se a matriz do sistema é diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha, o valor absoluto do coeficiente da variável principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes.
Para o nosso sistema:
1ª equação: ✔️
2ª equação: ✔️
Como ambas as linhas satisfazem essa condição, podemos usar o método de Gauss-Jacobi.

Passo 3

Vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
x1 = 5 - x23 x2 = 6 - x14

Passo 4

Definimos as iterações começando com x1^1 = 5 - 03 = 53 approx 1,6667 x2^1 = 6 - 04 = 64 = 1,5 e .
Iteração 1:

Passo 5

Iteração 2:
x1^2 = 5 - 1,53 = 3,53 approx 1,1667 x2^2 = 6 - 1,66674 = 4,33334 approx 1,0833
Calculamos a diferença entre as iterações:
|x1^2 - x1^1| = |1,1667 - 1,6667| = 0,5 |x2^2 - x2^1| = |1,0833 - 1,5| = 0,4167
Como a maior diferença é igual à nossa tolerância , podemos encerrar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema é e .

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