Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com três equações e três incógnitas. A matriz dos coeficientes é:
$$ 4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w cdot x y z = 2 5 r
\cdot
$$
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e esse sistema:
Tem infinitas soluções;
Tem solução única;
Não tem solução.
Vamos precisar usar o determinante da matriz dos coeficientes e entender um pouco sobre sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos valores de det = 4 cdot (0 cdot w - 1 cdot 1) - (-1) cdot (2 cdot w - 1 cdot (-1)) + 2 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot (-1)) .
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 3
Calculando cada parte:
det = -4 + (2w + 1) + 4 = 2w + 1
Agora, somamos tudo:
Passo 4
Então, o determinante da matriz dos coeficientes é 2w + 1 = 0 implies w = -12 .
Agora, vamos analisar os casos:
Se :
O determinante é diferente de zero.
O sistema tem solução única.
Se :
O determinante é zero.
Precisamos verificar se o sistema é consistente ou não.
Vamos resolver :
Passo 5
Então, quando 4 & -1 & 2 & | & 2 2 & 0 & 1 & | & 5 -1 & 1 & -12 & | & r , o determinante é zero. Nesse caso, vamos verificar a consistência do sistema para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Vamos simplificar essa matriz para ver se as equações são consistentes.
Passo 6
Primeiro, vamos simplificar a segunda linha substituindo a primeira: