Considere o sistema linear
(ccc 4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w ) x=(l 2 5 r )
(b) Para quais valores de w e r o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com três equações e três incógnitas. A matriz dos coeficientes é:

$$
4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w cdot x y z = 2 5 r
\cdot

$$
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de e esse sistema:
  • Tem infinitas soluções;
  • Tem solução única;
  • Não tem solução.
Vamos precisar usar o determinante da matriz dos coeficientes e entender um pouco sobre sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos valores de det = 4 cdot (0 cdot w - 1 cdot 1) - (-1) cdot (2 cdot w - 1 cdot (-1)) + 2 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot (-1)) .
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Calculando cada parte:
  1. det = -4 + (2w + 1) + 4 = 2w + 1
Agora, somamos tudo:

Passo 4

Então, o determinante da matriz dos coeficientes é 2w + 1 = 0 implies w = -12 .
Agora, vamos analisar os casos:
  1. Se :
    • O determinante é diferente de zero.
    • O sistema tem solução única.
  2. Se :
    • O determinante é zero.
    • Precisamos verificar se o sistema é consistente ou não.
Vamos resolver :

Passo 5

Então, quando 4 & -1 & 2 & | & 2 2 & 0 & 1 & | & 5 -1 & 1 & -12 & | & r , o determinante é zero. Nesse caso, vamos verificar a consistência do sistema para determinar se há infinitas soluções ou nenhuma.
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Vamos simplificar essa matriz para ver se as equações são consistentes.

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar a segunda linha substituindo a primeira:
  • Dividimos a primeira linha por 2: 2 - 2 = 0, 0 - (-0.5) = 0.5, 1 - 1 = 0, 5 - 1 = 4 , -1 1 -12 | r , -1 + 1 = 0, 1 + (-0.5) cdot 14 = 1 - 0.125 = 0.875, -12 + 1 cdot 14 = -0.5 + 0.25 = -0.25, r + 1 cdot 14 = r + 0.25 , .
  • Subtraímos essa linha da segunda:
A nova segunda linha fica:
Agora, vamos ver a terceira linha:
Vamos adicionar a primeira linha multiplicada por à terceira para eliminar o :
A nova terceira linha fica:

Passo 7

Agora, observamos a segunda e terceira linhas:
Segunda linha:
Terceira linha:
Para o sistema ser consistente, a terceira equação não pode contradizer a segunda. Vamos multiplicar a segunda linha por para igualar os coeficientes:
Comparando com a terceira linha:
Para que as equações sejam compatíveis, deve ser que:
(o que não é verdade) a menos que ajustemos os valores de .
Vamos igualar as constantes:

Passo 8

Então, quando :
  • Se :
    • O sistema é consistente e depende de uma variável livre.
    • Temos infinitas soluções.
  • Se :
    • O sistema é inconsistente.
    • Não há solução.

Resposta

  • Infinitas soluções: Quando e .
  • Solução única: Para qualquer valor de diferente de , independentemente de .
  • Nenhuma solução: Quando e .

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