& 2 x1+3 x2+4 x3=-2 & 3 x1+2 x2-x3=4 & 5 x1-4 x2+3 x3=8
(a) Resolva-a o pelo método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial, trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação.
(b) Refine a solução obtida em a) utilizado o procedimento iterativo de refinamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar as equações em uma forma mais simples para encontrar os valores das incógnitas & 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = -2 & 3 x1 + 2 x2 - x3 = 4 & 5 x1 - 4 x2 + 3 x3 = 8 , 2 & 3 & 4 & | & -2 3 & 2 & -1 & | & 4 5 & -4 & 3 & | & 8 e . Para isso, precisamos organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações para eliminar uma variável de cada vez, sempre escolhendo o maior número possível como pivô para evitar erros de arredondamento. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e manipulação de matrizes.
As equações dadas são:
Vamos transformar isso em uma matriz aumentada:

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira coluna e escolher o maior valor em termos absolutos para ser o nosso pivô. Isso ajuda a melhorar a precisão das operações. Entre 2, 3 e 5, o maior valor é 5, que está na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha:
5 & -4 & 3 & | & 8 3 & 2 & -1 & | & 4 2 & 3 & 4 & | & -2

Passo 3

Agora, queremos eliminar Linha2 = Linha2 - 0,6 times Linha1 das linhas 2 e 3. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por um fator e subtrair das outras linhas.
Para a segunda linha:
Fator = 3 - 0,6 times 5 = 3 - 3 = 0
2 - 0,6 times (-4) = 2 + 2,4 = 4,4
-1 - 0,6 times 3 = -1 - 1,8 = -2,8
4 - 0,6 times 8 = 4 - 4,8 = -0,8
Linha3 = Linha3 - 0,4 times Linha1
2 - 0,4 times 5 = 2 - 2 = 0
Para a terceira linha:
Fator = 3 - 0,4 times (-4) = 3 + 1,6 = 4,6
4 - 0,4 times 3 = 4 - 1,2 = 2,8
-2 - 0,4 times 8 = -2 - 3,2 = -5,2
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4,4 & -2,8 & | & -0,8 0 & 4,6 & 2,8 & | & -5,2
A matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda coluna e escolher o maior valor absoluto para ser o pivô. Entre 4,4 e 4,6, o maior é 4,6 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha:
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4,6 & 2,8 & | & -5,2 0 & 4,4 & -2,8 & | & -0,8

Passo 5

Vamos eliminar Linha3 = Linha3 - 0,96 times Linha2 da terceira linha. Primeiro, encontramos o fator para 0 - 0,96 times 0 = 0 :
Fator = 4,4 - 0,96 times 4,6 approx 4,4 - 4,4 = 0
-2,8 - 0,96 times 2,8 approx -2,8 - 2,7 = -5,5
-0,8 - 0,96 times (-5,2) approx -0,8 + 5,0 = 4,2
5 & -4 & 3 & | & 8 0 & 4,6 & 2,8 & | & -5,2 0 & 0 & -5,5 & | & 4,2
A matriz agora é:

Passo 6

Agora que temos a matriz em forma triangular, podemos resolver de trás para frente.
Primeiro, da terceira linha:
-5,5 x3 = 4,2 Rightarrow x3 = 4,2-5,5 approx -0,76

Passo 7

Substituímos 4,6 x2 + 2,8 (-0,76) = -5,2 na segunda linha para encontrar 4,6 x2 - 2,13 approx -5,2 :
4,6 x2 approx -5,2 + 2,13 = -3,07
x2 approx -3,074,6 approx -0,67

Passo 8

Finalmente, substituímos 5 x1 - 4 (-0,67) + 3 (-0,76) = 8 e 5 x1 + 2,68 - 2,28 = 8 na primeira linha para encontrar 5 x1 + 0,4 = 8 :
5 x1 = 8 - 0,4 = 7,6
x1 = 7,65 = 1,52

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente , e .

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