em que os vetores são as colunas da matriz identidade de ordem e os vetores são as colunas de . Utilizando decomposição LU, inverta a matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a matriz usando a decomposição LU. Isso envolve resolver sistemas lineares da forma , onde são as colunas da matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre decomposição LU, que basicamente quebra a matriz em duas matrizes triangulares: (inferior) e (superior). Com essas matrizes, fica mais fácil resolver os sistemas e encontrar a inversa de .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Queremos decompor em e tal que . A matriz terá 1’s na diagonal e elementos abaixo dela, e será uma matriz triangular superior.
Passo 3
Vamos iniciar a decomposição LU passo a passo.
Primeira linha de :
Primeira coluna de :
Passo 4
Agora, vamos calcular os elementos da segunda linha de :
Passo 5
Em seguida, calculamos o elemento :
Passo 6
Depois, encontramos o último elemento de :
Passo 7
Agora, temos as matrizes e :
Passo 8
Para encontrar a matriz inversa , precisamos resolver para cada coluna da identidade. Isso equivale a resolver .