A x^(i)=e^(i), i=1, ldots, n
em que os vetores e^(i) são as colunas da matriz identidade de ordem n e os vetores x^(i) são as colunas de A^-1. Utilizando decomposição LU, inverta a matriz
A=(lll 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a matriz usando a decomposição LU. Isso envolve resolver sistemas lineares da forma , onde são as colunas da matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre decomposição LU, que basicamente quebra a matriz em duas matrizes triangulares: (inferior) e (superior). Com essas matrizes, fica mais fácil resolver os sistemas e encontrar a inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 :
Queremos decompor em e tal que . A matriz terá 1’s na diagonal e elementos abaixo dela, e será uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos iniciar a decomposição LU passo a passo.
  1. Primeira linha de :
  2. Primeira coluna de :

Passo 4

Agora, vamos calcular os elementos da segunda linha de U22 = A22 - L21 times U12 = 1 - (12) times 1 = 12 :
U23 = A23 - L21 times U13 = 1 - (12) times 0 = 1

Passo 5

Em seguida, calculamos o elemento L32 = A32 - L31 times U12U22 = 0 - (12) times 112 = -1 :

Passo 6

Depois, encontramos o último elemento de U33 = A33 - L31 times U13 - L32 times U23 = 1 - (12) times 0 - (-1) times 1 = 2 :

Passo 7

Agora, temos as matrizes L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 12 & -1 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 12 & 1 0 & 0 & 2 e :

Passo 8

Para encontrar a matriz inversa , precisamos resolver para cada coluna da identidade. Isso equivale a resolver .
Primeiro, resolvemos para , e depois para .

Passo 9

Vamos resolver para cada 100:
  1. Para 1 -12 1 :
    • 12 -1 12 010
    • 0 1 -1 -12 2 -1
  2. Para 001:
    • 0 0 1 0 12 12
  3. Para :

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 12 & -12 & 0 -1 & 2 & 12 12 & -1 & 12 é:

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