em que os vetores são as colunas da matriz identidade de ordem e os vetores são as colunas de . Utilizando decomposição LU, inverta a matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a matriz usando a decomposição LU. Isso envolve resolver sistemas lineares da forma , onde são as colunas da matriz identidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre decomposição LU, que basicamente quebra a matriz em duas matrizes triangulares: (inferior) e (superior). Com essas matrizes, fica mais fácil resolver os sistemas e encontrar a inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Queremos decompor em e tal que . A matriz terá 1’s na diagonal e elementos abaixo dela, e será uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos iniciar a decomposição LU passo a passo.
  1. Primeira linha de :
  2. Primeira coluna de :

Passo 4

Agora, vamos calcular os elementos da segunda linha de :

Passo 5

Em seguida, calculamos o elemento :

Passo 6

Depois, encontramos o último elemento de :

Passo 7

Agora, temos as matrizes e :

Passo 8

Para encontrar a matriz inversa , precisamos resolver para cada coluna da identidade. Isso equivale a resolver .
Primeiro, resolvemos para , e depois para .

Passo 9

Vamos resolver para cada :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Resposta

A matriz inversa de é:

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por:
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