Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
c) Aplique o método de Gauss-Seidel ao sistema. Comente seu desempenho.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, temos um sistema linear representado pela matriz dos coeficientes e o vetor . O nosso objetivo aqui é aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver esse sistema. Para isso, precisamos entender como esse método funciona e verificar se ele é adequado para esse sistema específico.

Passo 2

O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa usada para resolver sistemas lineares da forma . Diferente dos métodos diretos, como a eliminação de Gauss, o Gauss-Seidel aproxima a solução através de iterações sucessivas, melhorando a cada passo. A ideia é atualizar cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
A fórmula geral para atualizar a -ésima variável é:
Onde:
  • é o novo valor da -ésima variável na iteração .
  • são os elementos da matriz .
  • são os elementos do vetor .

Passo 3

Antes de aplicar o método, é importante verificar se a matriz atende aos critérios de convergência do método de Gauss-Seidel. Uma condição comum é que a matriz seja diagonalmente dominante, ou seja, para cada linha :
Vamos verificar isso para a matriz :
  • Linha 1: vs
  • Linha 2: vs
  • Linha 3: vs
  • Linha 4: vs ✔️
  • Linha 5: vs
Como a maioria das linhas não é diagonalmente dominante, isso pode afetar a convergência do método de Gauss-Seidel.

Passo 4

Mesmo com a falta de dominância diagonal, podemos tentar aplicar o método de Gauss-Seidel. Vamos iniciar com uma estimativa inicial para as variáveis, por exemplo, , e realizar algumas iterações para ver como o método se comporta.
Iteração 1:
  • → Aqui encontramos um problema, já que . Isso significa que a matriz é singular ou não possui uma inversa, tornando o sistema possivelmente indeterminado ou sem solução única.

Passo 5

Dado que o elemento , o método de Gauss-Seidel não pode prosseguir, pois não podemos dividir por zero. Além disso, a falta de dominância diagonal sugere que o método pode não convergir para uma solução, ou pode não haver uma solução única.

Resposta

Infelizmente, devido à estrutura da matriz e à presença de elementos diagonais iguais a zero, o método de Gauss-Seidel não pode ser aplicado de forma eficaz neste sistema. A falta de dominância diagonal e a singularidade potencial da matriz indicam que o método pode não convergir ou não encontrar uma solução única para o sistema apresentado.

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Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
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Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em pontos distintos de um intervalo . Então, existe um único polinômio de grau menor ou igual a n tal que .