Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
c) Aplique o método de Gauss-Seidel ao sistema. Comente seu desempenho.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, temos um sistema linear representado pela matriz dos coeficientes e o vetor . O nosso objetivo aqui é aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver esse sistema. Para isso, precisamos entender como esse método funciona e verificar se ele é adequado para esse sistema específico.
Passo 2
O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa usada para resolver sistemas lineares da forma . Diferente dos métodos diretos, como a eliminação de Gauss, o Gauss-Seidel aproxima a solução através de iterações sucessivas, melhorando a cada passo. A ideia é atualizar cada variável usando os valores mais recentes disponíveis.
A fórmula geral para atualizar a -ésima variável é:
Onde:
é o novo valor da -ésima variável na iteração .
são os elementos da matriz .
são os elementos do vetor .
Passo 3
Antes de aplicar o método, é importante verificar se a matriz atende aos critérios de convergência do método de Gauss-Seidel. Uma condição comum é que a matriz seja diagonalmente dominante, ou seja, para cada linha :
Vamos verificar isso para a matriz :
Linha 1: vs → ❌
Linha 2: vs → ❌
Linha 3: vs → ❌
Linha 4: vs → ✔️
Linha 5: vs → ❌
Como a maioria das linhas não é diagonalmente dominante, isso pode afetar a convergência do método de Gauss-Seidel.
Passo 4
Mesmo com a falta de dominância diagonal, podemos tentar aplicar o método de Gauss-Seidel. Vamos iniciar com uma estimativa inicial para as variáveis, por exemplo, , e realizar algumas iterações para ver como o método se comporta.
Iteração 1:
→ Aqui encontramos um problema, já que . Isso significa que a matriz é singular ou não possui uma inversa, tornando o sistema possivelmente indeterminado ou sem solução única.
Passo 5
Dado que o elemento , o método de Gauss-Seidel não pode prosseguir, pois não podemos dividir por zero. Além disso, a falta de dominância diagonal sugere que o método pode não convergir para uma solução, ou pode não haver uma solução única.
Resposta
Infelizmente, devido à estrutura da matriz e à presença de elementos diagonais iguais a zero, o método de Gauss-Seidel não pode ser aplicado de forma eficaz neste sistema. A falta de dominância diagonal e a singularidade potencial da matriz indicam que o método pode não convergir ou não encontrar uma solução única para o sistema apresentado.