Resolver o sistema a seguir pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações que você me enviou usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. O sistema é:
Vamos usar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de . Para isso, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável em um lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar o sistema para facilitar a aplicação dos métodos iterativos. Queremos expressar cada variável em função das outras. Assim, teremos:
Passo 3
Agora, vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:
Passo 4
Vamos aplicar o método de Jacobi. Nesse método, usamos os valores da iteração anterior para calcular os novos valores. Vamos calcular a primeira iteração ():
Passo 5
Agora, vamos para a segunda iteração de Jacobi (), usando os valores da iteração anterior:
Passo 6
Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que . Calculando as diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar iterando.
Passo 7
Continuando com mais iterações de Jacobi até que todas as diferenças sejam menores que . (As iterações seguem o mesmo padrão: calcular novos valores usando os anteriores e verificar a convergência.)
Após várias iterações, chegaremos aos valores que satisfazem a condição de convergência.
Passo 8
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. A diferença aqui é que usamos os valores já atualizados na mesma iteração assim que são calculados. Vamos iniciar com a mesma condição inicial.
Passo 9
Vamos calcular a primeira iteração de Gauss-Seidel ():
Passo 10
Continuamos com as iterações de Gauss-Seidel seguindo o mesmo procedimento até que as diferenças entre iterações sejam menores que .
Após várias iterações, os valores das variáveis se estabilizarão dentro da tolerância desejada.
Resposta
Após aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância , as soluções aproximadas do sistema são: