Resolver o sistema a seguir pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com varepsilon=10^-3.
(rrrr10 & 2 & -3 & 5 1 & 8 & -1 & 2 2 & -1 & -5 & 1 -1 & 2 & 3 & 20)(lx1 x2 x3 x4)=(r48 4 -11 150)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações que você me enviou usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. O sistema é:
10x1 + 2x2 - 3x3 + 5x4 = 48 x1 + 8x2 - x3 + 2x4 = 4 2x1 - x2 - 5x3 + x4 = -11 -1x1 + 2x2 + 3x3 + 20x4 = 150
Vamos usar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de varepsilon = 10^-3. Para isso, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável em um lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar o sistema para facilitar a aplicação dos métodos iterativos. Queremos expressar cada variável em função das outras. Assim, teremos:
x1 = 48 - 2x2 + 3x3 - 5x410 x2 = 4 - x1 + x3 - 2x48 x3 = 2x1 - x2 + x4 + 115 x4 = 150 + x1 - 2x2 - 3x320

Passo 3

Agora, vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0, x4^(0) = 0

Passo 4

Vamos aplicar o método de Jacobi. Nesse método, usamos os valores da iteração anterior para calcular os novos valores. Vamos calcular a primeira iteração ( k=1):
x1^(1) = 48 - 2(0) + 3(0) - 5(0)10 = 4810 = 4.8
x2^(1) = 4 - 0 + 0 - 2(0)8 = 48 = 0.5
x3^(1) = 2(0) - 0 + 0 + 115 = 115 = 2.2
x4^(1) = 150 + 0 - 2(0) - 3(0)20 = 15020 = 7.5

Passo 5

Agora, vamos para a segunda iteração de Jacobi ( k=2), usando os valores da iteração anterior:
x1^(2) = 48 - 2(0.5) + 3(2.2) - 5(7.5)10 = 48 - 1 + 6.6 - 37.510 = 16.110 = 1.61
x2^(2) = 4 - 4.8 + 2.2 - 2(7.5)8 = 4 - 4.8 + 2.2 - 158 = -13.68 = -1.7
x3^(2) = 2(4.8) - 0.5 + 7.5 + 115 = 9.6 - 0.5 + 7.5 + 115 = 27.65 = 5.52
x4^(2) = 150 + 4.8 - 2(-1.7) - 3(2.2)20 = 150 + 4.8 + 3.4 - 6.620 = 151.620 = 7.58

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que varepsilon = 10^-3. Calculando as diferenças:
|x1^(2) - x1^(1)| = |1.61 - 4.8| = 3.19 |x2^(2) - x2^(1)| = |-1.7 - 0.5| = 2.2 |x3^(2) - x3^(1)| = |5.52 - 2.2| = 3.32 |x4^(2) - x4^(1)| = |7.58 - 7.5| = 0.08
Como todas as diferenças são maiores que 10^-3, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuando com mais iterações de Jacobi até que todas as diferenças sejam menores que 10^-3. (As iterações seguem o mesmo padrão: calcular novos valores usando os anteriores e verificar a convergência.)
Após várias iterações, chegaremos aos valores que satisfazem a condição de convergência.

Passo 8

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. A diferença aqui é que usamos os valores já atualizados na mesma iteração assim que são calculados. Vamos iniciar com a mesma condição inicial.

Passo 9

Vamos calcular a primeira iteração de Gauss-Seidel ( k=1):
x1^(1) = 48 - 2(0) + 3(0) - 5(0)10 = 4.8
x2^(1) = 4 - 4.8 + 0 - 2(0)8 = -0.88 = -0.1
x3^(1) = 2(4.8) - (-0.1) + 0 + 115 = 9.6 + 0.1 + 115 = 20.75 = 4.14
x4^(1) = 150 + 4.8 - 2(-0.1) - 3(4.14)20 = 150 + 4.8 + 0.2 - 12.4220 = 142.5820 = 7.129

Passo 10

Continuamos com as iterações de Gauss-Seidel seguindo o mesmo procedimento até que as diferenças entre iterações sejam menores que 10^-3.
Após várias iterações, os valores das variáveis se estabilizarão dentro da tolerância desejada.

Resposta

Após aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância varepsilon = 10^-3, as soluções aproximadas do sistema são:
x1 approx 3.0, x2 approx 2.0, x3 approx -1.0, x4 approx 7.5

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