Resolver o sistema a seguir pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações que você me enviou usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel. O sistema é:
Vamos usar os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel com uma tolerância de . Para isso, precisamos reorganizar as equações para isolar cada variável em um lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar o sistema para facilitar a aplicação dos métodos iterativos. Queremos expressar cada variável em função das outras. Assim, teremos:

Passo 3

Agora, vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:

Passo 4

Vamos aplicar o método de Jacobi. Nesse método, usamos os valores da iteração anterior para calcular os novos valores. Vamos calcular a primeira iteração ( ):

Passo 5

Agora, vamos para a segunda iteração de Jacobi ( ), usando os valores da iteração anterior:

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre as iterações é menor que . Calculando as diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuando com mais iterações de Jacobi até que todas as diferenças sejam menores que . (As iterações seguem o mesmo padrão: calcular novos valores usando os anteriores e verificar a convergência.)
Após várias iterações, chegaremos aos valores que satisfazem a condição de convergência.

Passo 8

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. A diferença aqui é que usamos os valores já atualizados na mesma iteração assim que são calculados. Vamos iniciar com a mesma condição inicial.

Passo 9

Vamos calcular a primeira iteração de Gauss-Seidel ( ):

Passo 10

Continuamos com as iterações de Gauss-Seidel seguindo o mesmo procedimento até que as diferenças entre iterações sejam menores que .
Após várias iterações, os valores das variáveis se estabilizarão dentro da tolerância desejada.

Resposta

Após aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel com a tolerância , as soluções aproximadas do sistema são:

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