Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
A=(ccccc 1 & 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 16 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 ) e b=(c 2 2 2 20 4 )
a) Ache a solução por inspeção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que tem uma matriz bem cheia de zeros, chamada matriz esparsa. O que isso significa é que muitos coeficientes das equações são zero, o que pode facilitar a nossa vida na hora de encontrar a solução. A gente tem a matriz dos coeficientes e o vetor , e a missão é encontrar o vetor que satisfaz . Vamos precisar olhar direitinho cada equação para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações do sistema separadamente para ficar mais fácil de visualizar:
1x1 + 1x2 - 1x3 + 2x4 - 1x5 = 2 2x1 = 2 2x2 = 2 4x1 + 16x4 = 20 4x3 = 4
Como a matriz é esparsa, algumas equações têm poucos termos, o que nos permite resolver para algumas variáveis diretamente.

Passo 3

Vamos começar com as equações mais simples. A segunda equação é:
2x1 = 2
Para encontrar x1 = 22 = 1 , dividimos ambos os lados por 2:
Então, já sabemos que .

Passo 4

Agora, olhemos para a terceira equação:
2x2 = 2
Dividindo ambos os lados por 2:
x2 = 22 = 1
Então, .

Passo 5

Vamos para a quinta equação:
4x3 = 4
Dividindo ambos os lados por 4:
x3 = 44 = 1
Portanto, .

Passo 6

Com os valores de 4x1 + 16x4 = 20 e 4(1) + 16x4 = 20 4 + 16x4 = 20 16x4 = 20 - 4 16x4 = 16 x4 = 1616 = 1 , podemos usar a quarta equação:
Substituindo :
Então, .

Passo 7

Finalmente, vamos usar a primeira equação para encontrar 1x1 + 1x2 - 1x3 + 2x4 - 1x5 = 2 :
1(1) + 1(1) - 1(1) + 2(1) - 1x5 = 2 1 + 1 - 1 + 2 - x5 = 2 3 - x5 = 2 -x5 = 2 - 3 -x5 = -1 x5 = 1
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, .

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1 1 1 1 1

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