Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa
a) Ache a solução por inspeção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que tem uma matriz bem cheia de zeros, chamada matriz esparsa. O que isso significa é que muitos coeficientes das equações são zero, o que pode facilitar a nossa vida na hora de encontrar a solução. A gente tem a matriz dos coeficientes e o vetor , e a missão é encontrar o vetor que satisfaz . Vamos precisar olhar direitinho cada equação para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações do sistema separadamente para ficar mais fácil de visualizar:
Como a matriz é esparsa, algumas equações têm poucos termos, o que nos permite resolver para algumas variáveis diretamente.

Passo 3

Vamos começar com as equações mais simples. A segunda equação é:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 2:
Então, já sabemos que .

Passo 4

Agora, olhemos para a terceira equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, .

Passo 5

Vamos para a quinta equação:
Dividindo ambos os lados por 4:
Portanto, .

Passo 6

Com os valores de e , podemos usar a quarta equação:
Substituindo :
Então, .

Passo 7

Finalmente, vamos usar a primeira equação para encontrar :
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, .

Resposta

A solução do sistema é:

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c) Aplique o método de Gauss-Seidel ao sistema. Comente seu desempenho.
Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
b) Com pivotação parcial
Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em pontos distintos de um intervalo . Então, existe um único polinômio de grau menor ou igual a n tal que .
Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos e para a função .
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.