Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja
definida em
pontos distintos de um intervalo
. Então, existe um único polinômio
de grau menor ou igual a n tal que
.
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre garantir que existe e que é único um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Isso está relacionado ao conteúdo de Interpolação Polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que atenda a certas condições. Para provar isso, vamos precisar entender como os polinômios podem ser ajustados para passar por pontos específicos e usar conceitos básicos de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa existir um polinômio
que passa pelos pontos dados. Queremos mostrar que, para
pontos distintos
, existe um polinômio
de grau no máximo
tal que
para todo
.
Passo 3
Para provar a existência, vamos construir explicitamente esse polinômio. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Polinômio de Lagrange. O Polinômio de Lagrange é uma soma de polinômios básicos que passam por cada um dos pontos dados. A fórmula geral é:
onde
são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Passo 4
Vamos verificar que esse polinômio
realmente passa por todos os pontos
. Se substituirmos
no polinômio:
Mas, por definição,
quando
e
. Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando
:
Assim, mostramos que
passa por todos os pontos dados, provando a existência.
Passo 5
Agora, vamos provar a unicidade desse polinômio. Suponha que existam dois polinômios,
e
, ambos de grau no máximo
, que passam por todos os pontos
. Vamos considerar a diferença entre eles:
Como ambos os polinômios passam pelos mesmos pontos, temos que
para todo
.
Passo 6
O polinômio
tem zeros em
pontos distintos. Mas, de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau
pode ter no máximo
zeros, a menos que seja o polinômio nulo. Como
tem grau no máximo
e tem
zeros, a única possibilidade é que
seja o polinômio nulo:
Isso implica que
, ou seja, o polinômio é único.
Resposta
Portanto, provamos que existe um único polinômio
de grau no máximo
que passa por todos os pontos
no intervalo
.