Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja definida em pontos distintos de um intervalo . Então, existe um único polinômio de grau menor ou igual a n tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre garantir que existe e que é único um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Isso está relacionado ao conteúdo de Interpolação Polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que atenda a certas condições. Para provar isso, vamos precisar entender como os polinômios podem ser ajustados para passar por pontos específicos e usar conceitos básicos de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa existir um polinômio que passa pelos pontos dados. Queremos mostrar que, para pontos distintos , existe um polinômio de grau no máximo tal que para todo .
Passo 3
Para provar a existência, vamos construir explicitamente esse polinômio. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Polinômio de Lagrange. O Polinômio de Lagrange é uma soma de polinômios básicos que passam por cada um dos pontos dados. A fórmula geral é:
onde são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Passo 4
Vamos verificar que esse polinômio realmente passa por todos os pontos . Se substituirmos no polinômio:
Mas, por definição, quando e . Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando :
Assim, mostramos que passa por todos os pontos dados, provando a existência.
Passo 5
Agora, vamos provar a unicidade desse polinômio. Suponha que existam dois polinômios, e , ambos de grau no máximo , que passam por todos os pontos . Vamos considerar a diferença entre eles:
Como ambos os polinômios passam pelos mesmos pontos, temos que para todo .
Passo 6
O polinômio tem zeros em pontos distintos. Mas, de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau pode ter no máximo zeros, a menos que seja o polinômio nulo. Como tem grau no máximo e tem zeros, a única possibilidade é que seja o polinômio nulo:
Isso implica que , ou seja, o polinômio é único.
Resposta
Portanto, provamos que existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos os pontos no intervalo .