Prove o seguinte resultado:
Teorema 1 (Existência e Unicidade) Seja f(x) definida em x0, x1, ldots, xn,(n+1) pontos distintos de um intervalo [a, b]. Então, existe um único polinômio P(x) de grau menor ou igual a n tal que P(xi)=f(xi)=yi, i= 1,2, ldots, n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre garantir que existe e que é único um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Isso está relacionado ao conteúdo de Interpolação Polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que atenda a certas condições. Para provar isso, vamos precisar entender como os polinômios podem ser ajustados para passar por pontos específicos e usar conceitos básicos de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa existir um polinômio P(x) que passa pelos pontos dados. Queremos mostrar que, para n+1 pontos distintos (x0, y0), (x1, y1), ldots, (xn, yn), existe um polinômio P(x) de grau no máximo n tal que P(xi) = yi para todo i = 0, 1, ldots, n.

Passo 3

Para provar a existência, vamos construir explicitamente esse polinômio. Uma maneira comum de fazer isso é usando o Polinômio de Lagrange. O Polinômio de Lagrange é uma soma de polinômios básicos que passam por cada um dos pontos dados. A fórmula geral é:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde Li(x) são os polinômios de base de Lagrange definidos por:
Li(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj

Passo 4

Vamos verificar que esse polinômio P(x) realmente passa por todos os pontos (xi, yi). Se substituirmos x = xk no polinômio:
P(xk) = sumi=0^n yi cdot Li(xk)
Mas, por definição, Li(xk) = 0 quando i neq k e Lk(xk) = 1. Portanto, todos os termos da soma serão zero, exceto quando i = k:
P(xk) = yk cdot 1 = yk
Assim, mostramos que P(x) passa por todos os pontos dados, provando a existência.

Passo 5

Agora, vamos provar a unicidade desse polinômio. Suponha que existam dois polinômios, P(x) e Q(x), ambos de grau no máximo n, que passam por todos os pontos (xi, yi). Vamos considerar a diferença entre eles:
R(x) = P(x) - Q(x)
Como ambos os polinômios passam pelos mesmos pontos, temos que R(xi) = 0 para todo i = 0, 1, ldots, n.

Passo 6

O polinômio R(x) tem zeros em n+1 pontos distintos. Mas, de acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau m pode ter no máximo m zeros, a menos que seja o polinômio nulo. Como R(x) tem grau no máximo n e tem n+1 zeros, a única possibilidade é que R(x) seja o polinômio nulo:
R(x) = 0 para todo x
Isso implica que P(x) = Q(x), ou seja, o polinômio é único.

Resposta

Portanto, provamos que existe um único polinômio P(x) de grau no máximo n que passa por todos os pontos (xi, yi) no intervalo [a, b].

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