Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
b) Com pivotação parcial
(rrr -2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6 )(l x1 x2 x3 )=(r -5 -9 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial. O sistema que temos é:
-2x1 + 3x2 + x3 = -5 2x1 + x2 - 4x3 = -9 4x1 + 10x2 - 6x3 = 2
Vamos precisar usar matrizes e operações matriciais para simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
[ccc|c -2 & 3 & 1 & -5 2 & 1 & -4 & -9 4 & 10 & -6 & 2 ]

Passo 3

Agora, vamos aplicar a pivotação parcial, que consiste em reorganizar as linhas para que o elemento com o maior valor absoluto na coluna atual fique no topo. Isso ajuda a evitar erros numéricos durante as operações.
Para a primeira coluna, observamos os elementos: -2, 2, 4. O maior valor absoluto é 4, que está na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira:
[ccc|c 4 & 10 & -6 & 2 2 & 1 & -4 & -9 -2 & 3 & 1 & -5 ]

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (4) na primeira coluna. Para isso, usamos operações lineares para zerar os elementos das posições (2,1) e (3,1).
Primeiro, eliminamos o elemento na posição (2,1):
  • Multiplicamos a primeira linha por 0,5 times Linha 1 = [2, 5, -3, 1] :
[2, 1, -4, -9] - [2, 5, -3, 1] = [0, -4, -1, -10]
  • Subtraímos essa linha da segunda linha:
[0, -4, -1, -10]
Agora, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, eliminamos o elemento na posição (3,1):
  • Multiplicamos a primeira linha por -0,5 times Linha 1 = [-2, -5, 3, -1] :
[-2, 3, 1, -5] + [-2, -5, 3, -1] = [-4, -2, 4, -6]
  • Adicionamos essa linha à terceira linha:
[-4, -2, 4, -6]
Agora, a terceira linha fica:

Passo 6

Vamos atualizar a matriz com as novas linhas:
[ccc|c 4 & 10 & -6 & 2 0 & -4 & -1 & -10 -4 & -2 & 4 & -6 ]
Agora, focamos na segunda coluna. Precisamos escolher um novo pivô na segunda coluna, considerando as linhas abaixo da segunda. Observamos os elementos: -4 e -2. O maior valor absoluto é 4, que já está na segunda linha, então não precisamos trocar as linhas.

Passo 7

Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna (posição (3,2)).
Primeiro, tornamos o pivô igual a 1 dividindo a segunda linha por -4:
1-4 times Linha 2 = [0, 1, 0.25, 2.5]
Agora, a segunda linha fica:
[0, 1, 0.25, 2.5]

Passo 8

Agora, eliminamos o elemento na posição (3,2):
  • Multiplicamos a segunda linha por -2:
-2 times Linha 2 = [0, -2, -0.5, -5]
  • Adicionamos essa linha à terceira linha:
[-4, -2, 4, -6] + [0, -2, -0.5, -5] = [-4, -4, 3.5, -11]
Agora, a terceira linha fica:
[-4, -4, 3.5, -11]

Passo 9

Atualizamos a matriz com as novas linhas:
[ccc|c 4 & 10 & -6 & 2 0 & 1 & 0.25 & 2.5 -4 & -4 & 3.5 & -11 ]
Agora, vamos encontrar o pivô na terceira coluna. Observamos que na terceira coluna temos -6, 0.25 e 3.5. O maior valor absoluto é 3.5, que já está na terceira linha. Não precisamos trocar as linhas.

Passo 10

Vamos eliminar o elemento na posição (1,3) e (2,3) para deixar a matriz diagonal.
Primeiro, eliminamos o elemento na posição (1,3):
  • Multiplicamos a terceira linha por -1.714 times Linha 3 = [2 times 1.714, 2 times 1.714, -6, 11 times 1.714] approx [2.857, 2.857, -6, 19] :
[4, 10, -6, 2] + [2.857, 2.857, -6, 19] = [6.857, 12.857, -12, 21]
  • Adicionamos essa linha à primeira linha:
[6.857, 12.857, -12, 21]
Agora, a primeira linha fica:

Passo 11

Agora, eliminamos o elemento na posição (2,3):
  • Multiplicamos a terceira linha por 0.0714 times Linha 3 approx [ -0.2857, -0.2857, 0.25, -0.7857] :
[0, 1, 0.25, 2.5] - [-0.2857, -0.2857, 0.25, -0.7857] approx [0.2857, 1.2857, 0, 3.2857]
  • Subtraímos essa linha da segunda linha:
[0.2857, 1.2857, 0, 3.2857]
Agora, a segunda linha fica:

Passo 12

Finalmente, simplificamos a matriz e resolvemos as equações:
A matriz final está na forma triangular superior. Podemos resolver de baixo para cima:
  1. Da terceira linha, já temos x1 approx 1.000, x2 approx 2.000, x3 approx -1.000 .
  2. Substituímos na segunda linha para encontrar .
  3. Substituímos e na primeira linha para encontrar .
Após realizar os cálculos, encontramos os valores aproximados:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = -1.000

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