Resolver os sistemas abaixo pelo método de eliminação de Gauss, com a estratégia indicada e usando 3 casas decimais.
b) Com pivotação parcial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar usar matrizes e operações matriciais para simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a pivotação parcial, que consiste em reorganizar as linhas para que o elemento com o maior valor absoluto na coluna atual fique no topo. Isso ajuda a evitar erros numéricos durante as operações.
Para a primeira coluna, observamos os elementos: -2, 2, 4. O maior valor absoluto é 4, que está na terceira linha. Então, vamos trocar a primeira linha com a terceira:
Passo 4
Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (4) na primeira coluna. Para isso, usamos operações lineares para zerar os elementos das posições (2,1) e (3,1).
Primeiro, eliminamos o elemento na posição (2,1):
Multiplicamos a primeira linha por :
Subtraímos essa linha da segunda linha:
Agora, a segunda linha fica:
Passo 5
Agora, eliminamos o elemento na posição (3,1):
Multiplicamos a primeira linha por :
Adicionamos essa linha à terceira linha:
Agora, a terceira linha fica:
Passo 6
Vamos atualizar a matriz com as novas linhas:
Agora, focamos na segunda coluna. Precisamos escolher um novo pivô na segunda coluna, considerando as linhas abaixo da segunda. Observamos os elementos: -4 e -2. O maior valor absoluto é 4, que já está na segunda linha, então não precisamos trocar as linhas.
Passo 7
Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna (posição (3,2)).
Primeiro, tornamos o pivô igual a 1 dividindo a segunda linha por -4:
Agora, a segunda linha fica:
Passo 8
Agora, eliminamos o elemento na posição (3,2):
Multiplicamos a segunda linha por -2:
Adicionamos essa linha à terceira linha:
Agora, a terceira linha fica:
Passo 9
Atualizamos a matriz com as novas linhas:
Agora, vamos encontrar o pivô na terceira coluna. Observamos que na terceira coluna temos -6, 0.25 e 3.5. O maior valor absoluto é 3.5, que já está na terceira linha. Não precisamos trocar as linhas.
Passo 10
Vamos eliminar o elemento na posição (1,3) e (2,3) para deixar a matriz diagonal.
Primeiro, eliminamos o elemento na posição (1,3):
Multiplicamos a terceira linha por :
Adicionamos essa linha à primeira linha:
Agora, a primeira linha fica:
Passo 11
Agora, eliminamos o elemento na posição (2,3):
Multiplicamos a terceira linha por :
Subtraímos essa linha da segunda linha:
Agora, a segunda linha fica:
Passo 12
Finalmente, simplificamos a matriz e resolvemos as equações:
A matriz final está na forma triangular superior. Podemos resolver de baixo para cima:
Da terceira linha, já temos .
Substituímos na segunda linha para encontrar .
Substituímos e na primeira linha para encontrar .
Após realizar os cálculos, encontramos os valores aproximados: