a) Transforme A x=b num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial x^(0)=(lll1 & 1 & 1)^T
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema linear da forma . A matriz e o vetor são fornecidos. Nosso objetivo na parte a) é transformar esse sistema em um equivalente que seja diagonalmente dominante, o que ajuda na convergência de métodos numéricos como o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz diagonalmente dominante e como podemos rearranjar as equações para atingir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor na diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. Ou seja, para cada linha |aii| >= sumlimitsj neq i |aij| , temos:
Isso garante que a diagonal tem um peso maior, facilitando a convergência dos métodos iterativos.
Passo 3
Olhemos para a matriz A = 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 10 & 1 & 1 :
Vamos verificar se já é diagonalmente dominante:
Primeira linha: vs → não é dominante.
Segunda linha: vs → não é dominante.
Terceira linha: vs → não é dominante.
Nenhuma das linhas satisfaz a condição. Precisamos rearranjar as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante.
Passo 4
Uma estratégia comum é reorganizar as equações de maneira que os termos com coeficientes maiores fiquem na diagonal. Vamos tentar trocar as linhas para ver se conseguimos:
Pronto, concluímos a parte a)! Transformamos o sistema original A'' = 10 & 1 & 1 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 , b'' = 14 12 13 em um sistema equivalente que é diagonalmente dominante:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema diagonalmente dominante que acabamos de obter. O método começa com uma aproximação inicial, que aqui é 1 & 1 & 1, e realiza iterações para refinar essa solução.
Passo 8
Antes de iniciar as iterações, vamos reescrever o sistema para facilitar os cálculos no método de Gauss-Seidel. Resolvemos cada equação para a variável correspondente: