a) Transforme num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema linear da forma . A matriz e o vetor são fornecidos. Nosso objetivo na parte a) é transformar esse sistema em um equivalente que seja diagonalmente dominante, o que ajuda na convergência de métodos numéricos como o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz diagonalmente dominante e como podemos rearranjar as equações para atingir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor na diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. Ou seja, para cada linha , temos:
Isso garante que a diagonal tem um peso maior, facilitando a convergência dos métodos iterativos.
Passo 3
Olhemos para a matriz :
Vamos verificar se já é diagonalmente dominante:
Primeira linha: vs → não é dominante.
Segunda linha: vs → não é dominante.
Terceira linha: vs → não é dominante.
Nenhuma das linhas satisfaz a condição. Precisamos rearranjar as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante.
Passo 4
Uma estratégia comum é reorganizar as equações de maneira que os termos com coeficientes maiores fiquem na diagonal. Vamos tentar trocar as linhas para ver se conseguimos:
Troca a primeira linha com a terceira:
Verificamos a dominância:
Primeira linha: vs → dominante.
Segunda linha: vs → não.
Terceira linha: vs → não.
Ainda falta resolver as outras linhas.
Passo 5
Vamos agora trocar a segunda linha com a terceira do novo sistema:
Agora, verificamos novamente:
Primeira linha: vs → dominante.
Segunda linha: vs → dominante.
Terceira linha: vs → dominante.
Agora sim, a matriz é diagonalmente dominante!
Passo 6
Pronto, concluímos a parte a)! Transformamos o sistema original em um sistema equivalente que é diagonalmente dominante:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema diagonalmente dominante que acabamos de obter. O método começa com uma aproximação inicial, que aqui é , e realiza iterações para refinar essa solução.
Passo 8
Antes de iniciar as iterações, vamos reescrever o sistema para facilitar os cálculos no método de Gauss-Seidel. Resolvemos cada equação para a variável correspondente:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 9
Vamos iniciar as iterações. Lembre-se que em cada passo, usamos os valores mais recentes disponíveis para calcular as próximas aproximações.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Resposta
Após 5 iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação para a solução do sistema é: