Considere o sistema linear A x=b onde:
A=(ccc 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 10 & 1 & 1 ) e b=(lll 12 & 13 & 14 )^T
a) Transforme A x=b num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial x^(0)=(lll1 & 1 & 1)^T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema linear da forma . A matriz e o vetor são fornecidos. Nosso objetivo na parte a) é transformar esse sistema em um equivalente que seja diagonalmente dominante, o que ajuda na convergência de métodos numéricos como o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz diagonalmente dominante e como podemos rearranjar as equações para atingir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor na diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. Ou seja, para cada linha |aii| >= sumlimitsj neq i |aij| , temos:
Isso garante que a diagonal tem um peso maior, facilitando a convergência dos métodos iterativos.

Passo 3

Olhemos para a matriz A = 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 10 & 1 & 1 :
Vamos verificar se já é diagonalmente dominante:
  • Primeira linha: vs não é dominante.
  • Segunda linha: vs não é dominante.
  • Terceira linha: vs não é dominante.
Nenhuma das linhas satisfaz a condição. Precisamos rearranjar as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante.

Passo 4

Uma estratégia comum é reorganizar as equações de maneira que os termos com coeficientes maiores fiquem na diagonal. Vamos tentar trocar as linhas para ver se conseguimos:
  1. Troca a primeira linha com a terceira:
A' = 10 & 1 & 1 2 & 2 & 10 2 & 10 & 1 , b' = 14 13 12
Verificamos a dominância:
  • Primeira linha: vs dominante.
  • Segunda linha: vs não.
  • Terceira linha: vs não.
Ainda falta resolver as outras linhas.

Passo 5

Vamos agora trocar a segunda linha com a terceira do novo sistema:
A'' = 10 & 1 & 1 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 , b'' = 14 12 13
Agora, verificamos novamente:
  • Primeira linha: vs dominante.
  • Segunda linha: vs dominante.
  • Terceira linha: vs dominante.
Agora sim, a matriz é diagonalmente dominante!

Passo 6

Pronto, concluímos a parte a)! Transformamos o sistema original A'' = 10 & 1 & 1 2 & 10 & 1 2 & 2 & 10 , b'' = 14 12 13 em um sistema equivalente que é diagonalmente dominante:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema diagonalmente dominante que acabamos de obter. O método começa com uma aproximação inicial, que aqui é 1 & 1 & 1, e realiza iterações para refinar essa solução.

Passo 8

Antes de iniciar as iterações, vamos reescrever o sistema para facilitar os cálculos no método de Gauss-Seidel. Resolvemos cada equação para a variável correspondente:
  1. Primeira equação:
10x1 = 14 - x2 - x3 implies x1 = 14 - x2 - x310
  1. Segunda equação:
10x2 = 12 - 2x1 - x3 implies x2 = 12 - 2x1 - x310
  1. Terceira equação:
10x3 = 13 - 2x1 - 2x2 implies x3 = 13 - 2x1 - 2x210

Passo 9

Vamos iniciar as iterações. Lembre-se que em cada passo, usamos os valores mais recentes disponíveis para calcular as próximas aproximações.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:

Resposta

Após 5 iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação para a solução do sistema é:
x approx 1.22516 0.86681 0.88161

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