Considere o sistema linear onde:
a) Transforme num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema linear da forma . A matriz e o vetor são fornecidos. Nosso objetivo na parte a) é transformar esse sistema em um equivalente que seja diagonalmente dominante, o que ajuda na convergência de métodos numéricos como o de Gauss-Seidel. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz diagonalmente dominante e como podemos rearranjar as equações para atingir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor na diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. Ou seja, para cada linha , temos:
Isso garante que a diagonal tem um peso maior, facilitando a convergência dos métodos iterativos.

Passo 3

Olhemos para a matriz :
Vamos verificar se já é diagonalmente dominante:
  • Primeira linha: vs não é dominante.
  • Segunda linha: vs não é dominante.
  • Terceira linha: vs não é dominante.
Nenhuma das linhas satisfaz a condição. Precisamos rearranjar as equações para tornar a matriz diagonalmente dominante.

Passo 4

Uma estratégia comum é reorganizar as equações de maneira que os termos com coeficientes maiores fiquem na diagonal. Vamos tentar trocar as linhas para ver se conseguimos:
  1. Troca a primeira linha com a terceira:
Verificamos a dominância:
  • Primeira linha: vs dominante.
  • Segunda linha: vs não.
  • Terceira linha: vs não.
Ainda falta resolver as outras linhas.

Passo 5

Vamos agora trocar a segunda linha com a terceira do novo sistema:
Agora, verificamos novamente:
  • Primeira linha: vs dominante.
  • Segunda linha: vs dominante.
  • Terceira linha: vs dominante.
Agora sim, a matriz é diagonalmente dominante!

Passo 6

Pronto, concluímos a parte a)! Transformamos o sistema original em um sistema equivalente que é diagonalmente dominante:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b). Vamos aplicar o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema diagonalmente dominante que acabamos de obter. O método começa com uma aproximação inicial, que aqui é , e realiza iterações para refinar essa solução.

Passo 8

Antes de iniciar as iterações, vamos reescrever o sistema para facilitar os cálculos no método de Gauss-Seidel. Resolvemos cada equação para a variável correspondente:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:
  1. Terceira equação:

Passo 9

Vamos iniciar as iterações. Lembre-se que em cada passo, usamos os valores mais recentes disponíveis para calcular as próximas aproximações.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:

Resposta

Após 5 iterações pelo método de Gauss-Seidel, a aproximação para a solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Resolva pelo método de Gauss-Jacobi o sistema:

ou .
Resolver por Gauss-Seidel o seguinte sistema linear:
Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, .
a) e
b) e
Considere os sistemas:
a)
b)
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize . Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.