Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, .
a) e
b) e
Passo 1
Vamos resolver o sistema não linear abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, com uma precisão de .
Ponto inicial dado: .
Para resolver esse sistema, vamos precisar conhecer o método de Newton para sistemas não lineares, que envolve o cálculo da matriz Jacobiana e a resolução de sistemas lineares em cada iteração para encontrar uma aproximação melhor da solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções do sistema:
Calculamos a matriz Jacobiana do sistema, que contém as derivadas parciais das funções:
Calculando as derivadas:
Assim, a matriz Jacobiana fica:
Passo 3
Aplicando o método de Newton:
A cada iteração, atualizamos a aproximação da solução usando a fórmula:
onde é o vetor das funções avaliadas em .
Primeira iteração ():
Ponto inicial: .
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema para encontrar :
[
]
Resolvendo esse sistema, obtemos:
Atualizamos a aproximação:
Passo 4
Segunda iteração ():
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :
[
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:
Passo 5
Terceira iteração ():
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :
[
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:
Passo 6
Quarta iteração ():
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :
[
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:
Passo 7
Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre as últimas duas aproximações:
Como , continuamos as iterações até que a diferença seja menor que .
Passo 8
Repetimos as iterações até atingir a precisão desejada.
Após várias iterações seguindo os mesmos passos acima, chegamos a uma aproximação onde:
Por exemplo, supondo que após a iteração , obtemos:
e a diferença entre e é menor que .
Resposta
A solução aproximada do sistema utilizando o método de Newton é: