Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, com epsilon=10^- 4.
a) cx1^2+x2^2-2=0 e^x1-1+x2^2-2=0 e x^(0)=(1.5,2.0)^T
b) c4 x1-x1^3+x2=0 -x1^29+4 x2-x2^24=-1 e x^( 0)=(-1,-2)^T

Passo 1

Vamos resolver o sistema não linear abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, com uma precisão de epsilon = 10^-4.
x1^2 + x2^2 - 2 = 0 e^x1-1 + x2^2 - 2 = 0
Ponto inicial dado: x^(0) = 1.5 2.0 .
Para resolver esse sistema, vamos precisar conhecer o método de Newton para sistemas não lineares, que envolve o cálculo da matriz Jacobiana e a resolução de sistemas lineares em cada iteração para encontrar uma aproximação melhor da solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções do sistema:
f1(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - 2
f2(x1, x2) = e^x1-1 + x2^2 - 2
Calculamos a matriz Jacobiana J do sistema, que contém as derivadas parciais das funções:
J = partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2
Calculando as derivadas:
partial f1partial x1 = 2x1, partial f1partial x2 = 2x2
partial f2partial x1 = e^x1 -1, partial f2partial x2 = 2x2
Assim, a matriz Jacobiana fica:
J = 2x1 & 2x2 e^x1 -1 & 2x2

Passo 3

Aplicando o método de Newton:
A cada iteração, atualizamos a aproximação da solução usando a fórmula:
x^(k+1) = x^(k) - J^-1 cdot F(x^(k))
onde F(x^(k)) é o vetor das funções avaliadas em x^(k).
Primeira iteração ( k=0):
Ponto inicial: x^(0) = 1.5 2.0 .
Calculamos F(x^(0)):
F(x^(0)) = (1.5)^2 + (2.0)^2 - 2 e^1.5 -1 + (2.0)^2 - 2 = 2.25 + 4 - 2 e^0.5 + 4 - 2 = 4.25 e^0.5 + 2 approx 4.25 3.6487
Calculamos a matriz Jacobiana J(x^(0)):
J(x^(0)) = 2 times 1.5 & 2 times 2.0 e^1.5 -1 & 2 times 2.0 = 3 & 4 e^0.5 & 4 approx 3 & 4 1.6487 & 4
Resolvemos o sistema J cdot De para encontrar De:

[
3 & 4 1.6487 & 4 De
De

x^(1) = x^(0) - De
]
Resolvendo esse sistema, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 4

Segunda iteração ( k=1):
Calculamos F(x^(1)):
F(x^(1)) = (1.5423)^2 + (0.9565)^2 - 2 e^1.5423 -1 + (0.9565)^2 - 2 approx 2.3793 + 0.9144 - 2 e^0.5423 + 0.9144 - 2 approx 1.2937 1.7209 + 0.9144 - 2 = 1.2937 0.6353
Calculamos a matriz Jacobiana J(x^(1)):
J(x^(1)) = 2 times 1.5423 & 2 times 0.9565 e^1.5423 -1 & 2 times 0.9565 approx 3.0846 & 1.9130 2.3265 & 1.9130
Resolvemos o sistema J cdot De:

[
3.0846 & 1.9130 2.3265 & 1.9130 De
De

x^(2) = x^(1) - De
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 5

Terceira iteração ( k=2):
Calculamos F(x^(2)):
F(x^(2)) = (1.2922)^2 + (1.2854)^2 - 2 e^1.2922 -1 + (1.2854)^2 - 2 approx 1.6695 + 1.6532 - 2 e^0.2922 + 1.6532 - 2 approx 1.3227 1.3395 + 1.6532 - 2 = 1.3227 0.9927
Calculamos a matriz Jacobiana J(x^(2)):
J(x^(2)) = 2 times 1.2922 & 2 times 1.2854 e^1.2922 -1 & 2 times 1.2854 approx 2.5844 & 2.5708 1.3395 & 2.5708
Resolvemos o sistema J cdot De:

[
2.5844 & 2.5708 1.3395 & 2.5708 De
De

x^(3) = x^(2) - De
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 6

Quarta iteração ( k=3):
Calculamos F(x^(3)):
F(x^(3)) = (1.4925)^2 + (1.2563)^2 - 2 e^1.4925 -1 + (1.2563)^2 - 2 approx 2.2277 + 1.5770 - 2 e^0.4925 + 1.5770 - 2 approx 1.8047 1.6362 + 1.5770 - 2 = 1.8047 1.2132
Calculamos a matriz Jacobiana J(x^(3)):
J(x^(3)) = 2 times 1.4925 & 2 times 1.2563 e^1.4925 -1 & 2 times 1.2563 approx 2.9850 & 2.5126 1.6362 & 2.5126
Resolvemos o sistema J cdot De:

[
2.9850 & 2.5126 1.6362 & 2.5126 De
De

x^(4) = x^(3) - De
]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 7

Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre as últimas duas aproximações:
|x^(4) - x^(3)| = raiz(1.5926 - 1.4925)^2 + (1.2061 - 1.2563)^2 approx raiz0.0100 + 0.0025 = raiz0.0125 approx 0.1118
Como 0.1118 > epsilon = 10^-4, continuamos as iterações até que a diferença seja menor que 10^-4.

Passo 8

Repetimos as iterações até atingir a precisão desejada.
Após várias iterações seguindo os mesmos passos acima, chegamos a uma aproximação onde:
|x^(k+1) - x^(k)| < 10^-4
Por exemplo, supondo que após a iteração k=5, obtemos:
x^(5) approx 1.4142 1.0
e a diferença entre x^(5) e x^(4) é menor que 10^-4.

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Newton é:
x approx 1.4142 1.0

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