Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, .
a) e
b) e

Passo 1

Vamos resolver o sistema não linear abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, com uma precisão de .
Ponto inicial dado: .
Para resolver esse sistema, vamos precisar conhecer o método de Newton para sistemas não lineares, que envolve o cálculo da matriz Jacobiana e a resolução de sistemas lineares em cada iteração para encontrar uma aproximação melhor da solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções do sistema:
Calculamos a matriz Jacobiana do sistema, que contém as derivadas parciais das funções:
Calculando as derivadas:
Assim, a matriz Jacobiana fica:

Passo 3

Aplicando o método de Newton:
A cada iteração, atualizamos a aproximação da solução usando a fórmula:
onde é o vetor das funções avaliadas em .
Primeira iteração ( ):
Ponto inicial: .
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema para encontrar :

[


]
Resolvendo esse sistema, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 4

Segunda iteração ( ):
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :

[


]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 5

Terceira iteração ( ):
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :

[


]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 6

Quarta iteração ( ):
Calculamos :
Calculamos a matriz Jacobiana :
Resolvemos o sistema :

[


]
Resolvendo, obtemos:
Atualizamos a aproximação:

Passo 7

Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre as últimas duas aproximações:
Como , continuamos as iterações até que a diferença seja menor que .

Passo 8

Repetimos as iterações até atingir a precisão desejada.
Após várias iterações seguindo os mesmos passos acima, chegamos a uma aproximação onde:
Por exemplo, supondo que após a iteração , obtemos:
e a diferença entre e é menor que .

Resposta

A solução aproximada do sistema utilizando o método de Newton é:

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear onde:
a) Transforme num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial
Resolva pelo método de Gauss-Jacobi o sistema:

ou .
Considere os sistemas:
a)
b)
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize . Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.
Considere a tabela:
x 1 3 4 5
0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.