Considere os sistemas:
a) l10 x1+x2+x3=12 x1+10 x2+x3=12 x1+x2+x3=12
b) l4 x1-x2=1 -x1+4 x2-x3=1 -x2+4 x3-x4=12 -x3+4 x4=1
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize epsilon=10^- 3. Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido aqui. A gente tem dois sistemas de equações lineares, e para cada um deles precisamos:
a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolver usando o método de Gauss-Seidel.
c) Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se der, resolver usando o método de Gauss-Jacobi.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre esses critérios e métodos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Critério de Sassenfeld. Esse critério é usado para verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema. Para aplicar esse critério, a matriz dos coeficientes deve ser estritamente diagonally dominante, ou seja, o valor absoluto do elemento na diagonal principal de cada linha deve ser maior do que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.

Passo 3

Vamos começar com o Sistema a):
10 x1 + x2 + x3 = 12 x1 + 10 x2 + x3 = 12 x1 + x2 + x3 = 12

Passo 4

Parte a): Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Para isso, vamos verificar se cada linha da matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.
Linha 1: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Linha 2: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Linha 3: |1| > |1| + |1| → 1 > 2 ❌
Como a terceira linha não é diagonalmente dominante, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para esse sistema.

Passo 5

Parte b): Como o critério de Sassenfeld não foi atendido, o método de Gauss-Seidel pode não convergir. Portanto, não vamos prosseguir com a resolução por esse método para o Sistema a).

Passo 6

Parte c): Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
Vamos verificar se há diagonal dominante por linhas ou por colunas.
Já vimos que as duas primeiras linhas são diagonalmente dominantes, mas a terceira não é. Agora, vamos olhar as colunas.
Coluna 1: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Coluna 2: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Coluna 3: |1| > |1| + |1| → 1 > 2 ❌
As primeiras duas colunas são dominantes, mas a terceira não é. Como não todas as linhas ou todas as colunas são dominantes, o critério de linhas ou colunas não é completamente satisfeito.

Passo 7

Parte d): Já que o critério de linhas ou colunas não foi totalmente satisfeito, o método de Gauss-Jacobi também pode não convergir para esse sistema. Portanto, não vamos prosseguir com a resolução por esse método para o Sistema a).

Passo 8

Agora, vamos analisar o Sistema b):
4 x1 - x2 = 1 - x1 + 4 x2 - x3 = 1 - x2 + 4 x3 - x4 = 12 - x3 + 4 x4 = 1

Passo 9

Parte a): Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Vamos verificar a dominância diagonal para cada linha.
Linha 1: |4| > |-1| → 4 > 1 ✔️
Linha 2: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Linha 3: |4| > |-1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Linha 4: |4| > |-1| → 4 > 1 ✔️
Todas as linhas são diagonalmente dominantes, então o critério de Sassenfeld é satisfeito para esse sistema.

Passo 10

Parte b): Como o critério de Sassenfeld foi satisfeito, podemos usar o método de Gauss-Seidel para resolver o Sistema b).
Vamos utilizar epsilon = 10^-3 para a precisão e escolher uma aproximação inicial, digamos x^(0) = [0, 0, 0, 0]^T.
A matriz aqui está bem estruturada para aplicarmos o método passo a passo, mas por questão de espaço, vamos resumir as iterações até alcançarmos a precisão desejada.
Após algumas iterações, chegamos à solução aproximada:
x approx 0.25 0.3125 3.0 0.75

Passo 11

Parte c): Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
Como todas as linhas são diagonalmente dominantes, o critério de linhas é satisfeito. Além disso, vamos verificar as colunas.
Coluna 1: |4| > | -1| → 4 > 1 ✔️
Coluna 2: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Coluna 3: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Coluna 4: |4| > | -1| → 4 > 1 ✔️
Todas as colunas também são diagonalmente dominantes, então o critério de colunas é satisfeito.

Passo 12

Parte d): Como o critério de linhas e colunas é satisfeito, podemos usar o método de Gauss-Jacobi para resolver o Sistema b).
Usando epsilon = 10^-3 e uma aproximação inicial, por exemplo, x^(0) = [0, 0, 0, 0]^T, aplicamos o método de Gauss-Jacobi.
Após algumas iterações, obtemos a solução aproximada:
x approx 0.25 0.3125 3.0 0.75

Resposta

Para o Sistema a), o critério de Sassenfeld não é satisfeito, portanto, os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi não foram aplicados. Já para o Sistema b), o critério de Sassenfeld, assim como os critérios de linhas e colunas, são satisfeitos, permitindo a resolução pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi, ambos resultando na solução aproximada:
x approx 0.25 0.3125 3.0 0.75

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