Considere os sistemas:
a)
b)
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize . Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido aqui. A gente tem dois sistemas de equações lineares, e para cada um deles precisamos:
a) Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolver usando o método de Gauss-Seidel.
c) Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se der, resolver usando o método de Gauss-Jacobi.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre esses critérios e métodos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Critério de Sassenfeld. Esse critério é usado para verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir para a solução do sistema. Para aplicar esse critério, a matriz dos coeficientes deve ser estritamente diagonally dominante, ou seja, o valor absoluto do elemento na diagonal principal de cada linha deve ser maior do que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.

Passo 3

Vamos começar com o Sistema a):

Passo 4

Parte a): Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Para isso, vamos verificar se cada linha da matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante.
Linha 1: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Linha 2: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Linha 3: |1| > |1| + |1| → 1 > 2 ❌
Como a terceira linha não é diagonalmente dominante, o critério de Sassenfeld não é satisfeito para esse sistema.

Passo 5

Parte b): Como o critério de Sassenfeld não foi atendido, o método de Gauss-Seidel pode não convergir. Portanto, não vamos prosseguir com a resolução por esse método para o Sistema a).

Passo 6

Parte c): Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
Vamos verificar se há diagonal dominante por linhas ou por colunas.
Já vimos que as duas primeiras linhas são diagonalmente dominantes, mas a terceira não é. Agora, vamos olhar as colunas.
Coluna 1: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Coluna 2: |10| > |1| + |1| → 10 > 2 ✔️
Coluna 3: |1| > |1| + |1| → 1 > 2 ❌
As primeiras duas colunas são dominantes, mas a terceira não é. Como não todas as linhas ou todas as colunas são dominantes, o critério de linhas ou colunas não é completamente satisfeito.

Passo 7

Parte d): Já que o critério de linhas ou colunas não foi totalmente satisfeito, o método de Gauss-Jacobi também pode não convergir para esse sistema. Portanto, não vamos prosseguir com a resolução por esse método para o Sistema a).

Passo 8

Agora, vamos analisar o Sistema b):

Passo 9

Parte a): Verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
Vamos verificar a dominância diagonal para cada linha.
Linha 1: |4| > |-1| → 4 > 1 ✔️
Linha 2: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Linha 3: |4| > |-1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Linha 4: |4| > |-1| → 4 > 1 ✔️
Todas as linhas são diagonalmente dominantes, então o critério de Sassenfeld é satisfeito para esse sistema.

Passo 10

Parte b): Como o critério de Sassenfeld foi satisfeito, podemos usar o método de Gauss-Seidel para resolver o Sistema b).
Vamos utilizar para a precisão e escolher uma aproximação inicial, digamos .
A matriz aqui está bem estruturada para aplicarmos o método passo a passo, mas por questão de espaço, vamos resumir as iterações até alcançarmos a precisão desejada.
Após algumas iterações, chegamos à solução aproximada:

Passo 11

Parte c): Verificar se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
Como todas as linhas são diagonalmente dominantes, o critério de linhas é satisfeito. Além disso, vamos verificar as colunas.
Coluna 1: |4| > | -1| → 4 > 1 ✔️
Coluna 2: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Coluna 3: |4| > | -1| + |-1| → 4 > 2 ✔️
Coluna 4: |4| > | -1| → 4 > 1 ✔️
Todas as colunas também são diagonalmente dominantes, então o critério de colunas é satisfeito.

Passo 12

Parte d): Como o critério de linhas e colunas é satisfeito, podemos usar o método de Gauss-Jacobi para resolver o Sistema b).
Usando e uma aproximação inicial, por exemplo, , aplicamos o método de Gauss-Jacobi.
Após algumas iterações, obtemos a solução aproximada:

Resposta

Para o Sistema a), o critério de Sassenfeld não é satisfeito, portanto, os métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi não foram aplicados. Já para o Sistema b), o critério de Sassenfeld, assim como os critérios de linhas e colunas, são satisfeitos, permitindo a resolução pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi, ambos resultando na solução aproximada:

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas não lineares abaixo utilizando os métodos de Newton e Newton-Modificado, .
a) e
b) e
Considere o sistema linear onde:
a) Transforme num sistema equivalente e que seja diagonalmente dominante.
b) Faça 5 iterações pelo método de Gauss-Siedel, utilizando como aproximação inicial
Considere a tabela:
x 1 3 4 5
0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Os resultados da densidade da água em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .