Resolva pelo método de Gauss-Jacobi o sistema: ou .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares que queremos resolver usando o método de Gauss-Jacobi. O sistema é:
O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Para isso, rearranjamos as equações de forma que cada variável seja isolada em um lado da equação. Vamos precisar das expressões rearranjadas e de um chute inicial, que no caso é . Também estabelecemos um critério de parada: parar quando a diferença entre as iterações for menor que ou após 10 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar as equações para isolar e :
Da primeira equação , isolamos :
Da segunda equação , isolamos :
Essas fórmulas vão nos permitir atualizar os valores de e em cada iteração.
Passo 3
Vamos iniciar as iterações com nosso chute inicial e .
Iteração 1 (k = 1):
Agora, verificamos a diferença:
Como a diferença é maior que , seguimos para a próxima iteração.
Passo 4
Iteração 2 (k = 2):
Diferença:
Continuamos para a próxima iteração.
Passo 5
Iteração 3 (k = 3):
Diferença:
Vamos para a próxima iteração.
Passo 6
Iteração 4 (k = 4):
Diferença:
Seguimos para mais uma iteração.
Passo 7
Iteração 5 (k = 5):
Diferença:
Como a diferença agora é menor que , paramos as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi é: