Resolver por Gauss-Seidel o seguinte sistema linear:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Primeiro, o que temos aqui é um sistema com 10 equações e 10 incógnitas. A matéria que estamos usando é Álgebra Linear, especificamente métodos numéricos para resolver sistemas lineares. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja isolada em cada equação.
Passo 2
O método de Gauss-Seidel é uma técnica iterativa, ou seja, vamos começar com uma estimativa inicial para cada variável e, passo a passo, ir ajustando essas estimativas até que elas se aproximem bastante dos valores reais. Primeiro, precisamos reescrever cada equação do sistema para isolar uma das variáveis.
Vamos chamar as variáveis de 4x1 - x2 - x4 = -110 . Vamos reorganizar cada equação para expressar x1 = -110 + x2 + x44 em função das outras variáveis e do termo constante. Por exemplo, para a primeira equação:
Isolando :
Fazemos isso para todas as 10 equações.
Passo 3
Agora, vamos supor valores iniciais para todas as variáveis. Uma escolha comum é começar com todas as variáveis iguais a zero:
x1^(0) = x2^(0) = ldots = x10^(0) = 0
Esses serão os nossos palpites iniciais.
Passo 4
Com os valores iniciais, vamos calcular o próximo palpite para cada variável usando as equações que rearranjamos. Por exemplo, para x1^(1) = -110 + x2^(0) + x4^(0)4 = -110 + 0 + 04 = -27.5 :
Fazemos o mesmo para todas as variáveis, uma de cada vez, usando os valores mais recentes disponíveis. Ou seja, ao calcular , já usamos calculado agora, e assim por diante.
Passo 5
Repetimos o processo de atualização das variáveis usando os valores mais recentes obtidos. Cada iteração nos aproxima mais das soluções reais do sistema. Continuamos fazendo isso até que a diferença entre as estimativas em duas iterações consecutivas seja menor que uma tolerância pré-definida, indicando que chegamos a uma solução suficientemente precisa.
Passo 6
Vamos ilustrar com uma segunda iteração para ver como isso funciona. Usando os valores atualizados da primeira iteração:
Continuamos atualizando todas as variáveis dessa forma.
Passo 7
Continuamos realizando iterações, atualizando os valores de a cada passo. A cada nova iteração, os valores das variáveis devem se aproximar mais das soluções exatas do sistema. O processo para quando a mudança nas variáveis for menor que a tolerância desejada.
Resposta
Após realizar várias iterações usando o método de Gauss-Seidel, os valores das variáveis convergem para os valores que satisfazem todas as equações do sistema original. Esses valores são a solução do sistema linear proposto.