Considere o sistema linear,
r x1+x2+4 x3+x4=2 x2+2 x3+4 x4=9 2 x1+4 x2-x3=2 5 x1+x2+x3+2 x4=0
(b) Resolva o sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares. O que temos aqui são quatro equações com quatro incógnitas: , , e . Para resolver, vamos usar o método de substituição ou eliminação, que nos ajuda a achar os valores dessas incógnitas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a visualização:
x1 + x2 + 4x3 + x4 = 2 (1) x2 + 2x3 + 4x4 = 9 (2) 2x1 + 4x2 - x3 = 2 (3) 5x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0 (4)

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Olhando para a equação (2), podemos isolar x2 = 9 - 2x3 - 4x4 (5) :

Passo 4

Agora, substituímos x1 + (9 - 2x3 - 4x4) + 4x3 + x4 = 2 da equação (5) nas equações (1), (3) e (4). Vamos fazer isso para cada uma:
Para a equação (1):
x1 + 9 + 2x3 - 3x4 = 2 x1 = 2 - 9 - 2x3 + 3x4 x1 = -7 - 2x3 + 3x4 (6)
Simplificando:
2x1 + 4(9 - 2x3 - 4x4) - x3 = 2
Para a equação (3):
2x1 + 36 - 8x3 - 16x4 - x3 = 2 2x1 - 9x3 - 16x4 = -34 (7)
Simplificando:
5x1 + (9 - 2x3 - 4x4) + x3 + 2x4 = 0
Para a equação (4):
5x1 + 9 - x3 - 2x4 = 0 5x1 - x3 - 2x4 = -9 (8)
Simplificando:

Passo 5

Agora temos duas equações (7) e (8) com duas incógnitas 2(-7 - 2x3 + 3x4) - 9x3 - 16x4 = -34 -14 - 4x3 + 6x4 - 9x3 - 16x4 = -34 -13x3 -10x4 = -20 (9) e . Vamos usar a equação (6) para substituir na equação (7):
Substituindo na equação (7):

Passo 6

Agora, temos a equação (8) para substituir 5(-7 - 2x3 + 3x4) - x3 - 2x4 = -9 -35 -10x3 +15x4 -x3 -2x4 = -9 -11x3 +13x4 = 26 (10) :
Substituindo na equação (8):

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações:
-13x3 -10x4 = -20 (9) -11x3 +13x4 = 26 (10)
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a equação (9) por 13 e a equação (10) por 10 para eliminar -13x3 -10x4 = -20 times 13 Rightarrow -169x3 -130x4 = -260 (11) -11x3 +13x4 = 26 times 10 Rightarrow -110x3 +130x4 = 260 (12) :
Multiplicando:
-169x3 -130x4 + (-110x3 +130x4) = -260 +260 -279x3 = 0 x3 = 0
Somando as equações (11) e (12):

Passo 8

Com -13(0) -10x4 = -20 -10x4 = -20 x4 = 2 , substituímos na equação (9) para encontrar :

Passo 9

Agora que temos x2 = 9 - 2(0) -4(2) = 9 -0 -8 = 1 e , vamos encontrar usando a equação (5):

Passo 10

Por fim, encontramos x1 = -7 -2(0) +3(2) = -7 -0 +6 = -1 usando a equação (6):

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -1 x2 = 1 x3 = 0 x4 = 2

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