Resolva o sistema linear abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss e a decomposição LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando dois métodos: o Método de Eliminação de Gauss e a Decomposição LU. O que isso significa?
Primeiro, o sistema que temos é:
Vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Vamos começar com o Método de Eliminação de Gauss. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma onde fica fácil encontrar as incógnitas através de substituição.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
Passo 3
O objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 7). Para isso, vamos modificar as linhas 2 e 3.
Para a linha 2 ():
Calculando:
Então, a nova linha 2 é:
Passo 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô na linha 3 ().
Calculando:
Então, a nova linha 3 é:
Passo 5
Agora, temos o sistema atualizado:
Vamos simplificar multiplicando a linha 2 por 7 para eliminar os denominadores:
E a linha 3 também:
Passo 6
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (33) na linha 3.
Simplificando:
Calculando:
Então, a nova linha 3 é:
Passo 7
Agora, temos o sistema triangular:
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação para encontrar :
Passo 8
Agora que temos , vamos substituir na segunda equação para encontrar :
Passo 9
Com e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Passo 10
Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Decomposição LU. Primeiro, decompomos a matriz dos coeficientes em uma matriz (inferior) e uma matriz (superior).
A matriz é:
Vamos encontrar e tais que .
Passo 11
Após calcular a decomposição (o processo envolve múltiplas etapas de cálculo que são longas para detalhar aqui), obtemos: