Resolva o sistema linear abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss e a decomposição LU.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando dois métodos: o Método de Eliminação de Gauss e a Decomposição LU. O que isso significa?
Primeiro, o sistema que temos é:
Vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos começar com o Método de Eliminação de Gauss. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma onde fica fácil encontrar as incógnitas através de substituição.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:

Passo 3

O objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 7). Para isso, vamos modificar as linhas 2 e 3.
Para a linha 2 ( ):
Calculando:
Então, a nova linha 2 é:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô na linha 3 ( ).
Calculando:
Então, a nova linha 3 é:

Passo 5

Agora, temos o sistema atualizado:
Vamos simplificar multiplicando a linha 2 por 7 para eliminar os denominadores:
E a linha 3 também:

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (33) na linha 3.
Simplificando:
Calculando:
Então, a nova linha 3 é:

Passo 7

Agora, temos o sistema triangular:
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação para encontrar :

Passo 8

Agora que temos , vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Passo 9

Com e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 10

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Decomposição LU. Primeiro, decompomos a matriz dos coeficientes em uma matriz (inferior) e uma matriz (superior).
A matriz é:
Vamos encontrar e tais que .

Passo 11

Após calcular a decomposição (o processo envolve múltiplas etapas de cálculo que são longas para detalhar aqui), obtemos:

Passo 12

Agora, resolvemos onde .
Primeiro equação:
Segunda equação:
Terceira equação:

Passo 13

Agora, resolvemos .
Terceira equação:
Segunda equação:
Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema linear é:

Exercícios relacionados

Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivoteamento e trabalhando com três algarismos significativos,
sabendo-se que o resultado da triangularização da matriz de coeficientes é
com e , ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas , no passo 2 , a troca e nenhuma troca no passo 3.
Considere o sistema linear,
(b) Resolva o sistema linear.
Considere o sistema linear,
(a) Obtenha a decomposição LU da matriz associada aos sistema de equações lineares.
Resolva o sistema
e efetue duas etapas de refinamento de solução. Trabalhe com três algarismos significativos. Não esquece do cálculo do resíduo com dupla precisão. O resultado da triangularização deste sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento é
e , ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas e no passo 2 , a troca .