Resolva o sistema linear abaixo usando o Método de Eliminação de Gauss e a decomposição LU.
r 7 x1+2 x2-5 x3=-18 x1+5 x2-3 x3=-40 2 x1-x2-9 x3=-26

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando dois métodos: o Método de Eliminação de Gauss e a Decomposição LU. O que isso significa?
Primeiro, o sistema que temos é:
r 7 x1+2 x2-5 x3=-18 x1+5 x2-3 x3=-40 2 x1-x2-9 x3=-26
Vamos precisar manipular essas equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos começar com o Método de Eliminação de Gauss. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma onde fica fácil encontrar as incógnitas através de substituição.
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
7 & 2 & -5 & | & -18 1 & 5 & -3 & | & -40 2 & -1 & -9 & | & -26

Passo 3

O objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 7). Para isso, vamos modificar as linhas 2 e 3.
Para a linha 2 ( L2' = L2 - (17)L1 ):
1 - (17times7) = 0 5 - (17times2) = 5 - 27 = 337 -3 - (17times(-5)) = -3 + 57 = -167 -40 - (17times(-18)) = -40 + 187 = -2627
Calculando:
0 337 -167 | -2627
Então, a nova linha 2 é:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô na linha 3 ( L3' = L3 - (27)L1 ).
2 - (27times7) = 0 -1 - (27times2) = -1 - 47 = -117 -9 - (27times(-5)) = -9 + 107 = -537 -26 - (27times(-18)) = -26 + 367 = -1467
Calculando:
0 -117 -537 | -1467
Então, a nova linha 3 é:

Passo 5

Agora, temos o sistema atualizado:
7 & 2 & -5 & | & -18 0 & 337 & -167 & | & -2627 0 & -117 & -537 & | & -1467
Vamos simplificar multiplicando a linha 2 por 7 para eliminar os denominadores:
L2 = L2 times 7
0 33 -16 | -262
E a linha 3 também:
L3 = L3 times 7
0 -11 -53 | -146

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (33) na linha 3.
L3' = L3 + (1133)L2
Simplificando:
L3' = L3 + (13)L2
Calculando:
0 + 0 = 0 -11 + (13times33) = -11 + 11 = 0 -53 + (13times(-16)) = -53 - 163 = -1753 -146 + (13times(-262)) = -146 - 2623 = -7003
Então, a nova linha 3 é:
0 0 -1753 | -7003

Passo 7

Agora, temos o sistema triangular:
7x1 + 2x2 - 5x3 = -18 33x2 - 16x3 = -262 -1753x3 = -7003
Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira equação para encontrar -1753x3 = -7003 x3 = -7003-1753 = 4 :

Passo 8

Agora que temos 33x2 - 16(4) = -262 33x2 - 64 = -262 33x2 = -262 + 64 33x2 = -198 x2 = -19833 = -6 , vamos substituir na segunda equação para encontrar :

Passo 9

Com 7x1 + 2(-6) - 5(4) = -18 7x1 - 12 - 20 = -18 7x1 - 32 = -18 7x1 = -18 + 32 7x1 = 14 x1 = 147 = 2 e , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 10

Agora, vamos resolver o mesmo sistema usando a Decomposição LU. Primeiro, decompomos a matriz dos coeficientes em uma matriz A = 7 & 2 & -5 1 & 5 & -3 2 & -1 & -9 (inferior) e uma matriz (superior).
A matriz é:
Vamos encontrar e tais que .

Passo 11

Após calcular a decomposição (o processo envolve múltiplas etapas de cálculo que são longas para detalhar aqui), obtemos:
L = 1 & 0 & 0 17 & 1 & 0 27 & -1133 & 1 , U = 7 & 2 & -5 0 & 337 & -167 0 & 0 & -1753

Passo 12

Agora, resolvemos -18 -40 -26 onde y1 = -18 .
Primeiro equação:
17y1 + y2 = -40 17(-18) + y2 = -40 - 187 + y2 = -40 y2 = -40 + 187 = -2627
Segunda equação:
27y1 - 1133y2 + y3 = -26 27(-18) - 1133(-2627) + y3 = -26 -367 + 26221 + y3 = -26 y3 = -26 + 367 - 26221 = -70021
Terceira equação:

Passo 13

Agora, resolvemos -1753x3 = -7003 x3 = 4 .
Terceira equação:
337x2 - 167x3 = -2627 337x2 - 167(4) = -2627 337x2 - 647 = -2627 337x2 = -2627 + 647 337x2 = -1987 x2 = -6
Segunda equação:
7x1 + 2x2 -5x3 = -18 7x1 + 2(-6) -5(4) = -18 7x1 -12 -20 = -18 7x1 = 14 x1 = 2
Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema linear é:
x1 = 2, x2 = -6, x3 = 4

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