Resolva os sistemas abaixo, com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e arredondamento. Qual técnica forneceu os melhores resultados?
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me passou! A gente vai usar o método da eliminação de Gauss, tanto com pivoteamento quanto sem pivoteamento. O objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das variáveis e resolver a outra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema sem pivoteamento. Isso significa que vamos seguir as equações como estão, sem trocar as linhas para facilitar a resolução.
Temos o sistema:
Vamos eliminar da segunda equação. Para isso, calculamos o multiplicador que vai zerar o coeficiente de na segunda equação:
Agora, multiplicamos a primeira equação por esse multiplicador e subtraímos da segunda equação:
çãçãçã
Agora, resolvemos para :
Com o valor de em mãos, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema com pivoteamento. O pivoteamento ajuda a melhorar a precisão dos cálculos, especialmente quando os coeficientes das variáveis variam muito em magnitude.
Primeiro, identificamos o maior coeficiente em valor absoluto na coluna das equações que contém . No nosso caso, o maior é , que já está na primeira equação, então não precisamos trocar as linhas.
Repetimos o mesmo processo de eliminação:
çã

Resposta

As soluções do sistema são:
Tanto com quanto sem pivoteamento, obtivemos os mesmos resultados, indicando que, nesse caso específico, ambas as técnicas forneceram resultados igualmente bons.

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear: , sendo
Verifique usando eliminação de Gauss, com a estatégia de pivoteamento que este sistema não admite solução.
Seja uma matriz triangular inferior e e o seguinte problema: determinar tal que . Escreva o algoritmo da substituição direta para resolver este sistema linear e faça a análise da complexidade computacional do algoritmo, ou seja, calcule o número de operações que o algoritmo executa.
Considere o sistema linear,
(b) Resolva o sistema linear.
Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivoteamento e trabalhando com três algarismos significativos,
sabendo-se que o resultado da triangularização da matriz de coeficientes é
com e , ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas , no passo 2 , a troca e nenhuma troca no passo 3.