Considere o sistema linear:
, sendo
Verifique usando eliminação de Gauss, com a estatégia de pivoteamento que este sistema não admite solução.
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear
A = 1 & 2 & 1 2 & 3 & 1 3 & 5 & 2 , b = 3 5 1 usando a eliminação de Gauss com pivoteamento. O sistema dado é:
Nosso objetivo é manipular as linhas da matriz aumentada
para encontrar uma forma que nos mostre se o sistema tem solução ou não.
Passo 2
Primeiro, formamos a matriz aumentada
1 & 2 & 1 & | & 3 2 & 3 & 1 & | & 5 3 & 5 & 2 & | & 1 :
A eliminação de Gauss envolve zerar os elementos abaixo do pivô (elemento principal) em cada coluna.
Passo 3
Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento
R2' = R2 - 2 times R1 . Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Para a segunda linha (
R2' = (2, 3, 1 | 5) - 2 times (1, 2, 1 | 3) = (0, -1, -1 | -1) ):
Para a terceira linha (
1 & 2 & 1 & | & 3 0 & -1 & -1 & | & -1 0 & -1 & -1 & | & -8 ):
A matriz aumentada agora fica:
Passo 4
Agora, olhamos para o segundo pivô, que é
R3' = R3 - R2 . Queremos zerar o elemento abaixo dele na segunda coluna.
Para a terceira linha (
R3' = (0, -1, -1 | -8) - (0, -1, -1 | -1) = (0, 0, 0 | -7) ):
A matriz aumentada agora é:
Passo 5
Observamos a última linha da matriz aumentada:
Isso simplifica para:
Esta equação é impossível, o que significa que o sistema não tem solução.
Resposta
O sistema linear não admite solução, pois a eliminação de Gauss resulta em uma equação inconsistente
.