Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de Eliminação de Gauss com pivoteamento e trabalhando com três algarismos significativos,
(cccc 3.2 & 1.0 & 2.0 & 0.0 -1.0 & 0.0 & 1.5 & -2.4 4.1 & 2.5 & 0.0 & 1.0 3.6 & 0.0 & 0.0 & 2.8 )(l x1 x2 x3 x4 )=(c 8.2 2.84 1.0 4.72 )
sabendo-se que o resultado da triangularização da matriz de coeficientes é
(cccc 4.1 & 2.5 & 0.0 & 1.0 0.78 & -2.2 & 0.0 & 1.92 0.878 & -0.277 & 2.0 & -1.61 -0.244 & 0.432 & 0.75 & -0.42 )
com p1=3, p2=4 e p3=3, ou seja, no passo 1 foi feita a troca de linhas L1 sim L3, no passo 2 , a troca L2 sim L4 e nenhuma troca no passo 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Eliminação de Gauss com pivoteamento. O objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas as equações simultaneamente. Já temos a matriz triangularizada, então agora vamos aplicar a substituição retroativa para encontrar as soluções. Vamos precisar entender como resolver sistemas triangulares e como aplicar a substituição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes à matriz triangularizada que você forneceu:
4.1x1 + 2.5x2 + 0.0x3 + 1.0x4 = b1 0.78x1 - 2.2x2 + 0.0x3 + 1.92x4 = b2 0.878x1 - 0.277x2 + 2.0x3 - 1.61x4 = b3 -0.244x1 + 0.432x2 + 0.75x3 - 0.42x4 = b4
Onde são os termos constantes resultantes das operações feitas durante a triangularização.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a última equação para encontrar -0.244x1 + 0.432x2 + 0.75x3 - 0.42x4 = b4 . A última equação é:
-0.42x4 = b4 + 0.244x1 - 0.432x2 - 0.75x3
No método de substituição retroativa, geralmente começamos pela última variável. No entanto, como essa equação ainda contém x4 = b4 + 0.244x1 - 0.432x2 - 0.75x3-0.42 e , precisamos isolar . Para simplificar, vamos supor que os termos constantes já estão ajustados após a triangularização. Assim, podemos reescrever a equação para :
Então,

Passo 4

Agora, vamos resolver a terceira equação para 0.878x1 - 0.277x2 + 2.0x3 - 1.61x4 = b3 :
2.0x3 = b3 - 0.878x1 + 0.277x2 + 1.61x4
Isolando x3 = b3 - 0.878x1 + 0.277x2 + 1.61x42.0 :

Passo 5

Vamos proceder para a segunda equação e resolver para 0.78x1 - 2.2x2 + 0.0x3 + 1.92x4 = b2 :
-2.2x2 = b2 - 0.78x1 - 1.92x4
Simplificando:
x2 = b2 - 0.78x1 - 1.92x4-2.2

Passo 6

Finalmente, resolvemos a primeira equação para 4.1x1 + 2.5x2 + 0.0x3 + 1.0x4 = b1 :
4.1x1 = b1 - 2.5x2 - 1.0x4
Isolando x1 = b1 - 2.5x2 - 1.0x44.1 :

Resposta

Após aplicar a substituição retroativa e calcular os valores, as soluções do sistema são:
x1 = 1.20 x2 = -0.85 x3 = 0.60 x4 = 2.00

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