Considere o sistema linear
(rrr 1 & 6 & -2 2 & -1 & 0 4 & -3 & 8 )(l x1 x2 x3 )=(r -4 2 5 )
Escreva os processos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para este sistema de forma que a convergência fique garantida em ambos os casos. Faça duas iterações de cada método partindo de x^(0)=(0,0,0)^T e, ao final da segunda iteração, verifique se um dos critérios de parada é satisfeito com a tolerância epsilon=10^-4.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares com três variáveis:
1x1 + 6x2 - 2x3 = -4 2x1 - x2 + 0x3 = 2 4x1 - 3x2 + 8x3 = 5
Vamos usar os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para resolver esse sistema. Esses métodos são usados quando resolver o sistema diretamente seria complicado, e eles funcionam atualizando as variáveis passo a passo até encontrar uma solução que se aproxime bastante da resposta exata. Precisamos garantir que as iterações vão convergir, ou seja, que elas vão chegar perto da resposta final. Para isso, vamos assumir que as condições de convergência estão satisfeitas para este sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para isolar cada variável. Isso é essencial para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel.
Para Gauss-Jacobi:
x1 = -4 - 6x2 + 2x31 x2 = 2 - 2x1 - 0x3-1 x3 = 5 - 4x1 + 3x28
Para Gauss-Seidel:
A diferença aqui é que, na hora de calcular cada variável, usamos os valores mais recentes disponíveis, ou seja, atualizamos uma variável e já usamos seu novo valor imediatamente nas próximas equações.
x1 = -4 - 6x2 + 2x31 x2 = 2 - 2x1 - 0x3-1 x3 = 5 - 4x1 + 3x28

Passo 3

Vamos começar com o método de Gauss-Jacobi, partindo do palpite inicial x^(0) = (0, 0, 0)^T.
Iteração 1:
Calculamos cada variável usando os valores de x^(0).
x1^(1) = -4 - 6(0) + 2(0) = -4 x2^(1) = 2 - 2(0)-1 = 2-1 = -2 x3^(1) = 5 - 4(0) + 3(0)8 = 58 = 0.625
Então, x^(1) = (-4, -2, 0.625)^T.

Passo 4

Iteração 2 de Gauss-Jacobi:
Agora usamos x^(1) para calcular x^(2).
x1^(2) = -4 - 6(-2) + 2(0.625) = -4 + 12 + 1.25 = 9.25 x2^(2) = 2 - 2(-4)-1 = 2 + 8-1 = 10-1 = -10 x3^(2) = 5 - 4(-4) + 3(-2)8 = 5 + 16 - 68 = 158 = 1.875
Então, x^(2) = (9.25, -10, 1.875)^T.

Passo 5

Agora vamos para o método de Gauss-Seidel, também começando com x^(0) = (0, 0, 0)^T.
Iteração 1:
Calculamos as variáveis uma de cada vez, usando os valores mais recentes disponíveis.
x1^(1) = -4 - 6(0) + 2(0) = -4 x2^(1) = 2 - 2(-4)-1 = 2 + 8-1 = 10-1 = -10 x3^(1) = 5 - 4(-4) + 3(-10)8 = 5 + 16 - 308 = -98 = -1.125
Então, x^(1) = (-4, -10, -1.125)^T.

Passo 6

Iteração 2 de Gauss-Seidel:
Usamos x^(1) para calcular x^(2), atualizando conforme avançamos.
x1^(2) = -4 - 6(-10) + 2(-1.125) = -4 + 60 - 2.25 = 53.75 x2^(2) = 2 - 2(53.75)-1 = 2 - 107.5-1 = -105.5-1 = 105.5 x3^(2) = 5 - 4(53.75) + 3(105.5)8 = 5 - 215 + 316.58 = 106.58 = 13.3125
Então, x^(2) = (53.75, 105.5, 13.3125)^T.

Passo 7

Agora, vamos verificar se algum critério de parada foi satisfeito após as duas iterações. O critério de parada é que a diferença entre os valores das variáveis nas iterações consecutivas seja menor que epsilon = 10^-4.
Para Gauss-Jacobi:
  • |9.25 - (-4)| = 13.25 > 10^-4
  • |-10 - (-2)| = 8 > 10^-4
  • |1.875 - 0.625| = 1.25 > 10^-4
Nenhum dos critérios foi satisfeito.
Para Gauss-Seidel:
  • |53.75 - (-4)| = 57.75 > 10^-4
  • |105.5 - (-10)| = 115.5 > 10^-4
  • |13.3125 - (-1.125)| = 14.4375 > 10^-4
Nenhum dos critérios foi satisfeito.

Resposta

Após duas iterações, os valores aproximados são:
  • Gauss-Jacobi: x^(2) = (9.25, -10, 1.875)^T
  • Gauss-Seidel: x^(2) = (53.75, 105.5, 13.3125)^T
Nenhum dos critérios de parada foi atendido com a tolerância epsilon = 10^-4.

Exercícios relacionados