Encontre a função polinomial por partes
que é definida pelas condições:
é linear,
é quadrática
e são contínuas em ,
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função polinomial por partes que é definida de duas formas diferentes:
  • é para o intervalo e é uma função linear.
  • é para o intervalo e é uma função quadrática.
Além disso, temos algumas condições que a função deve satisfazer:
  1. A função e sua derivada devem ser contínuas em .
  2. Os valores específicos são:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções contínuas, derivadas e polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte , que é uma função linear. Uma função linear tem a forma geral:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.
Sabemos que . Substituindo na equação:
Então, já sabemos que . Agora nossa equação fica:

Passo 3

Ainda na parte , sabemos que . Vamos usar isso para encontrar .
Substituindo :
Resolvendo para :
Então, a função fica:

Passo 4

Agora vamos para a parte , que é uma função quadrática. A forma geral de uma função quadrática é:
Onde , e são constantes que precisamos determinar.
Sabemos que , então vamos usar isso:

Passo 5

Para garantir que seja contínua em , precisamos que . Já sabemos que , então:

Passo 6

Além disso, a derivada de também deve ser contínua em . Vamos primeiro encontrar a derivada de e :
Para :
Para :
No ponto , a derivada de deve ser igual a :

Passo 7

Agora temos um sistema de três equações para encontrar , e :
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (3):

Passo 8

Agora, substituímos da equação (4) na equação (2):

Passo 9

Agora, substituímos da equação (4) e da equação (5) na equação (1):

Passo 10

Com , vamos encontrar e usando as equações (4) e (5):

Passo 11

Então, a função quadrática fica:

Resposta

A função polinomial por partes é:

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