Encontre a função polinomial por partes
P(x)= P1(x) & se 0 <= x <= 1 P2(x) & se 1 <= x <= 2
que é definida pelas condições:
diamond P1(x) é linear,
diamond P2(x) é quadrática
diamond P(x) e P^prime(x) são contínuas em x=1,
diamond P(0)=1, P(1)=-1 e P(2)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função polinomial por partes que é definida de duas formas diferentes:
  • é para o intervalo e é uma função linear.
  • é para o intervalo e é uma função quadrática.
Além disso, temos algumas condições que a função deve satisfazer:
  1. A função e sua derivada devem ser contínuas em .
  2. Os valores específicos são:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções contínuas, derivadas e polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na parte P1(x) = a x + b , que é uma função linear. Uma função linear tem a forma geral:
P1(0) = a(0) + b = b = 1
Onde P1(x) = a x + 1 e são constantes que precisamos encontrar.
Sabemos que . Substituindo na equação:
Então, já sabemos que . Agora nossa equação fica:

Passo 3

Ainda na parte P1(1) = a(1) + 1 = a + 1 = -1 , sabemos que a + 1 = -1 a = -2 . Vamos usar isso para encontrar P1(x) = -2x + 1 .
Substituindo :
Resolvendo para :
Então, a função fica:

Passo 4

Agora vamos para a parte P2(x) = c x^2 + d x + e , que é uma função quadrática. A forma geral de uma função quadrática é:
P2(2) = c(2)^2 + d(2) + e = 4c + 2d + e = 0 (1)
Onde , e são constantes que precisamos determinar.
Sabemos que , então vamos usar isso:

Passo 5

Para garantir que P2(1) = c(1)^2 + d(1) + e = c + d + e = -1 (2) seja contínua em , precisamos que . Já sabemos que , então:

Passo 6

Além disso, a derivada de P'1(x) = -2 também deve ser contínua em P'2(x) = 2c x + d . Vamos primeiro encontrar a derivada de P'2(1) = 2c(1) + d = 2c + d = -2 (3) e :
Para :
Para :
No ponto , a derivada de deve ser igual a :

Passo 7

Agora temos um sistema de três equações para encontrar 4c + 2d + e = 0 (1) c + d + e = -1 (2) 2c + d = -2 (3) , 2c + d = -2 Rightarrow d = -2 - 2c (4) e :
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (3):

Passo 8

Agora, substituímos c + (-2 - 2c) + e = -1 c - 2 - 2c + e = -1 - c - 2 + e = -1 - c + e = 1 Rightarrow e = c + 1 (5) da equação (4) na equação (2):

Passo 9

Agora, substituímos 4c + 2(-2 - 2c) + (c + 1) = 0 4c -4 -4c + c + 1 = 0 c -3 = 0 c = 3 da equação (4) e da equação (5) na equação (1):

Passo 10

Com d = -2 - 2(3) = -2 -6 = -8 e = 3 + 1 = 4 , vamos encontrar e usando as equações (4) e (5):

Passo 11

Então, a função quadrática P2(x) = 3x^2 -8x +4 fica:

Resposta

A função polinomial por partes é:
P(x)= -2x + 1 & se 0 <= x <= 1 3x^2 -8x +4 & se 1 <= x <= 2

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