que é definida pelas condições: é linear, é quadrática e são contínuas em , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma função polinomial por partes que é definida de duas formas diferentes:
é para o intervalo e é uma função linear.
é para o intervalo e é uma função quadrática.
Além disso, temos algumas condições que a função deve satisfazer:
A função e sua derivada devem ser contínuas em .
Os valores específicos são:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções contínuas, derivadas e polinômios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na parte , que é uma função linear. Uma função linear tem a forma geral:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.
Sabemos que . Substituindo na equação:
Então, já sabemos que . Agora nossa equação fica:
Passo 3
Ainda na parte , sabemos que . Vamos usar isso para encontrar .
Substituindo :
Resolvendo para :
Então, a função fica:
Passo 4
Agora vamos para a parte , que é uma função quadrática. A forma geral de uma função quadrática é:
Onde , e são constantes que precisamos determinar.
Sabemos que , então vamos usar isso:
Passo 5
Para garantir que seja contínua em , precisamos que . Já sabemos que , então:
Passo 6
Além disso, a derivada de também deve ser contínua em . Vamos primeiro encontrar a derivada de e :
Para :
Para :
No ponto , a derivada de deve ser igual a :
Passo 7
Agora temos um sistema de três equações para encontrar , e :
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação (3):
Passo 8
Agora, substituímos c + (-2 - 2c) + e = -1 c - 2 - 2c + e = -1 - c - 2 + e = -1 - c + e = 1 Rightarrow e = c + 1 (5) da equação (4) na equação (2):
Passo 9
Agora, substituímos 4c + 2(-2 - 2c) + (c + 1) = 0 4c -4 -4c + c + 1 = 0 c -3 = 0 c = 3 da equação (4) e da equação (5) na equação (1):
Passo 10
Com d = -2 - 2(3) = -2 -6 = -8 e = 3 + 1 = 4 , vamos encontrar e usando as equações (4) e (5):
Passo 11
Então, a função quadrática P2(x) = 3x^2 -8x +4 fica:
Resposta
A função polinomial por partes é:
P(x)= -2x + 1 & se 0 <= x <= 1 3x^2 -8x +4 & se 1 <= x <= 2