Sabendo que a equação x-e^-x=0 admite uma raiz no intervalo [0, 1 ], determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos (xi, yi) no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação que tem uma raiz no intervalo . O que a gente vai usar aqui é a interpolação quadrática, que é uma técnica para aproximar a raiz de uma função usando uma parábola que passa por três pontos escolhidos nesse intervalo. Para isso, precisamos selecionar três pontos onde .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três valores de y0 = 0 - e^-0 = 0 - 1 = -1 dentro do intervalo y1 = 0.5 - e^-0.5 approx 0.5 - 0.6065 = -0.1065 . Vamos optar por y2 = 1 - e^-1 approx 1 - 0.3679 = 0.6321 , e .
Calculando para cada :
Então, os três pontos são , e .

Passo 3

Agora, vamos montar o polinômio de interpolação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de uma parábola é:
P(x) = ax^2 + bx + c
Precisamos encontrar os coeficientes P(0) = -1 Rightarrow c = -1 , P(0.5) = -0.1065 Rightarrow a(0.5)^2 + b(0.5) - 1 = -0.1065 e P(1) = 0.6321 Rightarrow a(1)^2 + b(1) - 1 = 0.6321 que satisfazem:
0.25a + 0.5b - 1 = -0.1065 Rightarrow 0.25a + 0.5b = 0.8935 (1)
a + b - 1 = 0.6321 Rightarrow a + b = 1.6321 (2)
a + 2b = 3.574 (3)
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
(a + 2b) - (a + b) = 3.574 - 1.6321 Rightarrow b = 1.9419
Da terceira equação:
a + 1.9419 = 1.6321 Rightarrow a = -0.3098
Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar frações:
P(x) = -0.3098x^2 + 1.9419x - 1
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Então, o polinômio é:

Passo 4

Para encontrar a raiz aproximada, vamos resolver -0.3098x^2 + 1.9419x - 1 = 0 :
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
De
Aqui, x = -1.9419 pm raiz2.53112(-0.3098) approx -1.9419 pm 1.5903-0.6196 , x1 = -1.9419 + 1.5903-0.6196 approx -0.3516-0.6196 approx 0.567 e x2 = -1.9419 - 1.5903-0.6196 approx -3.5322-0.6196 approx 5.700 .
Calculando o discriminante:
Então:
Calculando as duas soluções:
Como estamos no intervalo , a raiz relevante é .

Resposta

A raiz da equação no intervalo é aproximadamente .

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