Sabendo que a equação admite uma raiz no intervalo [0, 1, determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos no intervalo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação que tem uma raiz no intervalo . O que a gente vai usar aqui é a interpolação quadrática, que é uma técnica para aproximar a raiz de uma função usando uma parábola que passa por três pontos escolhidos nesse intervalo. Para isso, precisamos selecionar três pontos onde .
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três valores de dentro do intervalo . Vamos optar por , e .
Calculando para cada :
Então, os três pontos são , e .
Passo 3
Agora, vamos montar o polinômio de interpolação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de uma parábola é:
Precisamos encontrar os coeficientes , e que satisfazem:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar frações:
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Então, o polinômio é:
Passo 4
Para encontrar a raiz aproximada, vamos resolver :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Calculando as duas soluções:
Como estamos no intervalo , a raiz relevante é .
Resposta
A raiz da equação no intervalo é aproximadamente .