Sabendo que a equação admite uma raiz no intervalo [0, 1 , determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação que tem uma raiz no intervalo . O que a gente vai usar aqui é a interpolação quadrática, que é uma técnica para aproximar a raiz de uma função usando uma parábola que passa por três pontos escolhidos nesse intervalo. Para isso, precisamos selecionar três pontos onde .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher três valores de dentro do intervalo . Vamos optar por , e .
Calculando para cada :
Então, os três pontos são , e .

Passo 3

Agora, vamos montar o polinômio de interpolação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de uma parábola é:
Precisamos encontrar os coeficientes , e que satisfazem:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar frações:
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Substituindo na equação (2):
Então, o polinômio é:

Passo 4

Para encontrar a raiz aproximada, vamos resolver :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Calculando as duas soluções:
Como estamos no intervalo , a raiz relevante é .

Resposta

A raiz da equação no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Encontre a função polinomial por partes
que é definida pelas condições:
é linear,
é quadrática
e são contínuas em ,
e .
Considere o sistema linear
Escreva os processos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para este sistema de forma que a convergência fique garantida em ambos os casos. Faça duas iterações de cada método partindo de e, ao final da segunda iteração, verifique se um dos critérios de parada é satisfeito com a tolerância .
Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições: . Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
1 0 2
2 6 0 14