Sabendo que a equação
admite uma raiz no intervalo [0, 1
, determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
que tem uma raiz no intervalo
. O que a gente vai usar aqui é a interpolação quadrática, que é uma técnica para aproximar a raiz de uma função usando uma parábola que passa por três pontos escolhidos nesse intervalo. Para isso, precisamos selecionar três pontos
onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três valores de
dentro do intervalo
. Vamos optar por
,
e
.
Calculando
para cada
:
Então, os três pontos são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar o polinômio de interpolação quadrática que passa por esses três pontos. A forma geral de uma parábola é:
Precisamos encontrar os coeficientes
,
e
que satisfazem:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar frações:
Subtraindo a equação (2) da equação (3):
Substituindo
na equação (2):
Então, o polinômio é:
Passo 4
Para encontrar a raiz aproximada, vamos resolver
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Calculando as duas soluções:
Como estamos no intervalo
, a raiz relevante é
.
Resposta
A raiz da equação
no intervalo
é aproximadamente
.