Considere o sistema linear a seguir:
[llll 18 & -12 & 6 & 42 3 & -2 & -1 & 6 12 & -8 & -4 & 30 6 & -4 & -2 & 15 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[l 42 6 30 15 ]
Calcule a fatoração L U da matriz de coeficientes acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me apresentou um sistema de equações lineares com uma matriz de coeficientes 4x4. O objetivo é encontrar a fatoração dessa matriz, onde é uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de fatoração LU, que é super útil para resolver sistemas lineares de forma mais eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes A = 18 & -12 & 6 & 42 3 & -2 & -1 & 6 12 & -8 & -4 & 30 6 & -4 & -2 & 15 :
A = L times U
Nossa meta é decompor em e de forma que:
Onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Vamos começar o processo de fatoração. O método que vamos usar é o método de eliminação de Gauss modificado para encontrar U = 18 & -12 & 6 & 42 3 & -2 & -1 & 6 12 & -8 & -4 & 30 6 & -4 & -2 & 15 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 e . Primeiramente, vamos definir como uma cópia de e como uma matriz identidade.

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal em U2 = U2 - m21 times U1 e preencher os valores correspondentes em U2 = 3 & -2 & -1 & 6 - 16 times 18 & -12 & 6 & 42 = 0 & 0 & -2 & 0 .
Primeira coluna:
Para eliminar os elementos abaixo de L21 = 16 :
  • Linha 2: U3 = U3 - m31 times U1
    Atualizamos U3 = 12 & -8 & -4 & 30 - 23 times 18 & -12 & 6 & 42 = 0 & 0 & -8 & - 14 :
    L31 = 23
    Calculando:
    U4 = U4 - m41 times U1
    Atualizamos U4 = 6 & -4 & -2 & 15 - 13 times 18 & -12 & 6 & 42 = 0 & 0 & 0 & 1 :
    L41 = 13
  • Linha 3: U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & 0 & 1
    Atualizamos L = 1 & 0 & 0 & 0 16 & 1 & 0 & 0 23 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 :
    Calculando:
    Atualizamos :
  • Linha 4:
    Atualizamos :
    Calculando:
    Atualizamos :
Matriz após a primeira coluna:
Matriz após a primeira coluna:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna de U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . Observamos que L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 , o que significa que precisamos trocar as linhas para evitar divisão por zero. Vamos trocar a Linha 2 com a Linha 3.
Após a troca:
E em , trocamos as entradas correspondentes:

Passo 6

Continuando com a segunda coluna de U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , agora L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 . Vemos que não há pivô diferente de zero nessa coluna, então avançamos para a terceira coluna.
Terceira coluna:
Para eliminar os elementos abaixo de :
  • Linha 3: Já está com , sem necessidade de alteração.
  • Linha 4:
    Não há necessidade de alterar ou para a Linha 4, pois .
Matriz permanece:
Matriz permanece:

Passo 7

Finalmente, vamos montar as matrizes L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 e U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 completas após todas as alterações:
Matriz :
Matriz :

Resposta

A fatoração L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 , U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 da matriz de coeficientes é:

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