Calcule a fatoração L U da matriz de coeficientes acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me apresentou um sistema de equações lineares com uma matriz de coeficientes 4x4. O objetivo é encontrar a fatoração dessa matriz, onde é uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de fatoração LU, que é super útil para resolver sistemas lineares de forma mais eficiente.
Onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior.
Passo 3
Vamos começar o processo de fatoração. O método que vamos usar é o método de eliminação de Gauss modificado para encontrar U = 18 & -12 & 6 & 42 3 & -2 & -1 & 6 12 & -8 & -4 & 30 6 & -4 & -2 & 15 , L = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 e . Primeiramente, vamos definir como uma cópia de e como uma matriz identidade.
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo da diagonal principal em U2 = U2 - m21 times U1 e preencher os valores correspondentes em U2 = 3 & -2 & -1 & 6 - 16 times 18 & -12 & 6 & 42 = 0 & 0 & -2 & 0 .
Agora, vamos para a segunda coluna de U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . Observamos que L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 , o que significa que precisamos trocar as linhas para evitar divisão por zero. Vamos trocar a Linha 2 com a Linha 3.
Após a troca:
E em , trocamos as entradas correspondentes:
Passo 6
Continuando com a segunda coluna de U = 18 & -12 & 6 & 42 0 & 0 & -8 & -14 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , agora L = 1 & 0 & 0 & 0 23 & 1 & 0 & 0 16 & 0 & 1 & 0 13 & 0 & 0 & 1 . Vemos que não há pivô diferente de zero nessa coluna, então avançamos para a terceira coluna.
Terceira coluna:
Para eliminar os elementos abaixo de :
Linha 3: Já está com , sem necessidade de alteração.
Linha 4:
Não há necessidade de alterar ou para a Linha 4, pois .