Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada
f(x)=x^2 cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é usar a série de Maclaurin para encontrar a série de Maclaurin da função . Vamos precisar saber a série de Maclaurin da função e entender como manipular séries para multiplicar por .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! . A série de Maclaurin é uma expansão em série de potências que representa a função em torno de . Para , a série é:
Isso significa que pode ser escrito como a soma infinita de termos com potências pares de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série de Maclaurin para f(x) = x^2 cos x = x^2 ( sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! ) . Para isso, vamos multiplicar cada termo da série de por :

Passo 4

Fazendo a multiplicação, distribuímos f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n cdot x^2(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+2(2n)! para cada termo da série:

Passo 5

Podemos simplificar o expoente de f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2(n+1)(2n)! combinando os termos:
Ou, se preferir, podemos reescrever o índice para , mas essa forma já está adequada para representar a série de Maclaurin de .

Resposta

A série de Maclaurin da função f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+2(2n)! é:

Exercícios relacionados