Considere o sistema linear a seguir:
[llll 18 & -12 & 6 & 42 3 & -2 & -1 & 6 12 & -8 & -4 & 30 6 & -4 & -2 & 15 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[l 42 6 30 15 ]
Resolva o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas. O objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrarmos os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar os cálculos:
18 & -12 & 6 & 42 & | & 42 3 & -2 & -1 & 6 & | & 6 12 & -8 & -4 & 30 & | & 30 6 & -4 & -2 & 15 & | & 15

Passo 3

O próximo passo é simplificar a matriz para uma forma mais fácil de resolver. Vamos começar dividindo a primeira linha por 6 para reduzir os números:
3 & -2 & 1 & 7 & | & 7 3 & -2 & -1 & 6 & | & 6 12 & -8 & -4 & 30 & | & 30 6 & -4 & -2 & 15 & | & 15

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 - 3 = 0 -2 - (-2) = 0 -1 - 1 = -2 6 - 7 = -1 6 - 7 = -1 das outras linhas usando a primeira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
  • Segunda linha: (Linha 2) - (Linha 1)
12 - 4*3 = 0 -8 - 4*(-2) = 0 -4 - 4*1 = -8 30 - 4*7 = 2 30 - 4*7 = 2
Então, a segunda linha fica: 6 - 2*3 = 0 -4 - 2*(-2) = 0 -2 - 2*1 = -4 15 - 2*7 = 1 15 - 2*7 = 1
  • Terceira linha: (Linha 3) - 4*(Linha 1)
3 & -2 & 1 & 7 & | & 7 0 & 0 & -2 & -1 & | & -1 0 & 0 & -8 & 2 & | & 2 0 & 0 & -4 & 1 & | & 1
Terceira linha:
  • Quarta linha: (Linha 4) - 2*(Linha 1)
Quarta linha:
Agora a matriz fica:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais eliminando variáveis. Observando que as linhas 2, 3 e 4 têm 0x1 + 0x2 + x3 + 12x4 = 12 e iguais a zero, focamos nas equações com e .
Podemos simplificar a segunda linha dividindo por -2:
Agora, as equações ficam:

Passo 6

Vamos resolver a quarta equação para -4x3 + x4 = 1 Rightarrow x4 = 4x3 + 1 :
Agora temos em função de . Vamos substituir isso na segunda e terceira equações.

Passo 7

Substituindo x3 + 12(4x3 + 1) = 12 x3 + 2x3 + 12 = 12 3x3 = 0 x3 = 0 na segunda equação:

Passo 8

Agora que sabemos que x4 = 4(0) + 1 x4 = 1 , substituímos esse valor na equação de :

Passo 9

Com 3x1 - 2x2 + 0 + 7(1) = 7 3x1 - 2x2 + 7 = 7 3x1 - 2x2 = 0 e , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar e :

Passo 10

Agora, precisamos de mais uma equação para resolver -8(0) + 2(1) = 2 0 + 2 = 2 (Verdadeiro) e 3x1 - 2x2 = 0 . Podemos usar a terceira equação:
3x1 = 2t x1 = 23t
Essa equação não nos dá nova informação, então voltamos à primeira equação simplificada:
Vamos assumir que (onde é um parâmetro) para expressar em termos de :

Passo 11

Portanto, temos:
Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor de .

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = 23t, x2 = t, x3 = 0, x4 = 1 para qualquer real t

Exercícios relacionados