Qual o determinante dessa matriz? O que isso significa?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema linear representado por uma matriz e queremos descobrir o determinante dessa matriz. O determinante é uma ferramenta importante na álgebra linear que nos ajuda a entender se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz dada usando algumas regras básicas de cálculo de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Ele nos diz se a matriz é inversível ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível e o sistema tem uma única solução. Se for zero, a matriz não é inversível, o que significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma.
Calcular determinantes de matrizes maiores que pode ser trabalhoso, mas podemos simplificar usando operações de linhas para transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
Passo 4
Vamos começar fazendo a primeira coluna mais simples. Observamos que a primeira linha tem 18 na primeira posição. Podemos dividir a primeira linha por 6 para facilitar os cálculos:
Subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 4 times Linha 1 Rightarrow 3 & -2 & 1 & 7 0 & 0 & -2 & -1 0 & 0 & -8 & 2 6 & -4 & -2 & 15
E subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1 Rightarrow 3 & -2 & 1 & 7 0 & 0 & -2 & -1 0 & 0 & -8 & 2 0 & 0 & 0 & 1
Passo 7
Agora, observamos que as linhas 2 e 3 têm zeros nas duas primeiras colunas, o que indica que a matriz é singular, ou seja, seu determinante será zero. Isso ocorre porque as linhas são linearmente dependentes, ou seja, uma linha pode ser obtida por combinação linear das outras.
Passo 8
Como o determinante é zero, isso significa que a matriz não é inversível. Na prática, para o sistema dado, isso quer dizer que ou ele não tem solução ou tem infinitas soluções, dependendo dos termos independentes. No caso específico, podemos ver que as equações são múltiplas umas das outras, reforçando que o sistema não tem uma solução única.
Resposta
O determinante da matriz é zero. Isso significa que a matriz não é inversível e o sistema linear não possui uma solução única; ele pode ter infinitas soluções ou nenhuma.