Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de eliminação de Gauss:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
Vamos precisar de conceitos de álgebra linear, principalmente de manipulação de equações para simplificar e resolver o sistema.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
Isso facilita a aplicação das operações de linha para eliminar variáveis.
Passo 3
Vamos começar eliminando
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 1 & 1 & | & 12 das equações abaixo da primeira. Para isso, podemos usar a primeira linha para zerar o
nas outras linhas.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Agora, vamos eliminar
das outras linhas:
-
Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por
e subtraímos da segunda linha: -
Para a terceira linha, fazemos
-
Para a quarta linha, fazemos
Passo 4
Aplicando as operações:
Segunda Linha:
Terceira Linha:
Quarta Linha:
A nova matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & -1 & -1 & | & -2 das linhas abaixo da segunda. Primeiro, normalizamos a segunda linha dividindo por -2 para facilitar:
Isso nos dá:
Agora, usamos a segunda linha para eliminar
da terceira e quarta linha:
Passo 6
Aplicando as operações:
Terceira Linha:
Quarta Linha:
A matriz agora é:
Passo 7
Agora, vamos focar na terceira linha para eliminar
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 2.755.25 & | & 1 0 & 0 & -1.75 & -0.25 & | & -0.75 na quarta linha. Primeiro, simplificamos a terceira linha dividindo por -5.25:
Isso dá:
Simplificando
, temos aproximadamente 0.5238.
Agora, usamos a terceira linha para eliminar
da quarta linha:
Passo 8
Aplicando a operação:
Quarta Linha:
A matriz fica:
Passo 9
Agora, podemos resolver de baixo para cima:
Quarta Linha:
Então,
Terceira Linha:
Substituindo
:
Segunda Linha:
Substituindo
e
:
Primeira Linha:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A solução do sistema é aproximadamente: