Resolva o sistema linear abaixo, utilizando o método de eliminação de Gauss:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+x3+x4=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+x3+x4=12
Vamos precisar de conceitos de álgebra linear, principalmente de manipulação de equações para simplificar e resolver o sistema.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 1 & 1 & | & 12
Isso facilita a aplicação das operações de linha para eliminar variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 1 & 1 & | & 12 das equações abaixo da primeira. Para isso, podemos usar a primeira linha para zerar o nas outras linhas.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
Agora, vamos eliminar das outras linhas:
  • Para a segunda linha, multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:
  • Para a terceira linha, fazemos
  • Para a quarta linha, fazemos

Passo 4

Aplicando as operações:
Segunda Linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & -1 & -1 & | & -2
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(coeficiente de )
(termo constante)
Terceira Linha:
Quarta Linha:
A nova matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & -1 & -1 & | & -2 das linhas abaixo da segunda. Primeiro, normalizamos a segunda linha dividindo por -2 para facilitar:
Isso nos dá:
Agora, usamos a segunda linha para eliminar da terceira e quarta linha:

Passo 6

Aplicando as operações:
Terceira Linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & -5.25 & -2.75 & | & -5.25 0 & 0 & -1.75 & -0.25 & | & -0.75
Quarta Linha:
A matriz agora é:

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira linha para eliminar 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 2.755.25 & | & 1 0 & 0 & -1.75 & -0.25 & | & -0.75 na quarta linha. Primeiro, simplificamos a terceira linha dividindo por -5.25:
Isso dá:
Simplificando , temos aproximadamente 0.5238.
Agora, usamos a terceira linha para eliminar da quarta linha:

Passo 8

Aplicando a operação:
Quarta Linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0.6667 & | & 1
A matriz fica:

Passo 9

Agora, podemos resolver de baixo para cima:
Quarta Linha:
Então,
Terceira Linha:
Substituindo :
Segunda Linha:
Substituindo e :
Primeira Linha:
Substituindo , e :

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x1 approx 2.3571 x2 approx 0.2857 x3 approx 0.2143 x4 approx 1.5

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