Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o domínio e o conjunto imagem da função
. Esse exercício está dentro da matéria de funções multivariáveis, e para resolver vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada que deixam a função bem definida. No nosso caso, a função é
.
Observa que o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. Então, precisamos garantir que:
Isso significa que pelo menos uma das variáveis
,
ou
deve ser diferente de zero. Portanto, o domínio é todo o espaço tridimensional exceto o ponto onde
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis que
pode assumir.
Como o denominador
é a soma de quadrados, ele é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é não negativo. Portanto,
.
Isso implica que:
Além disso, à medida que
aumenta,
diminui, se aproximando de zero. Por outro lado, se
fica muito pequeno (mas sempre maior que zero),
fica muito grande, indo para o infinito.
Resposta
Domínio: Todos os números reais
,
,
tais que
. Em outras palavras,
menos o ponto
.
Conjunto Imagem: Todos os números reais positivos, ou seja,
.