Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função: w=1x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é determinar o domínio e o conjunto imagem da função . Esse exercício está dentro da matéria de funções multivariáveis, e para resolver vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada que deixam a função bem definida. No nosso caso, a função é x^2 + y^2 + z^2 neq 0 .
Observa que o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. Então, precisamos garantir que:
Isso significa que pelo menos uma das variáveis , ou deve ser diferente de zero. Portanto, o domínio é todo o espaço tridimensional exceto o ponto onde .

Passo 3

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os valores possíveis que w = 1x^2 + y^2 + z^2 > 0 pode assumir.
Como o denominador é a soma de quadrados, ele é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é não negativo. Portanto, .
Isso implica que:
Além disso, à medida que aumenta, diminui, se aproximando de zero. Por outro lado, se fica muito pequeno (mas sempre maior que zero), fica muito grande, indo para o infinito.

Resposta

Domínio: Todos os números reais , , tais que . Em outras palavras, menos o ponto .
Conjunto Imagem: Todos os números reais positivos, ou seja, .

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