Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o conjunto imagem da função . Vamos usar conhecimentos de funções, especialmente sobre radicais e condições para que eles existam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis (neste caso, , e ) para os quais a função está definida.
Passo 3
Como temos radicais na função, precisamos garantir que o que está dentro de cada raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo nos reais.
Passo 4
Vamos analisar cada radical separadamente:
Para , precisamos que .
Para , precisamos que .
Para , precisamos que .
Passo 5
Resolvendo as desigualdades:
.
.
.
Passo 6
Então, o domínio da função é o conjunto de todos os tripletos onde cada variável está entre e :
Passo 7
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função . Isso significa determinar todos os possíveis valores que pode assumir dentro do domínio encontrado.
Passo 8
Vamos analisar os termos:
varia de a , porque vai de a .
também varia de a .
varia de a .
Passo 9
Então, a soma varia de a , já que cada termo pode ser no máximo .