Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o conjunto imagem da função . Vamos usar conhecimentos de funções, especialmente sobre radicais e condições para que eles existam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis (neste caso, , e ) para os quais a função está definida.

Passo 3

Como temos radicais na função, precisamos garantir que o que está dentro de cada raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo nos reais.

Passo 4

Vamos analisar cada radical separadamente:
  1. Para , precisamos que .
  2. Para , precisamos que .
  3. Para , precisamos que .

Passo 5

Resolvendo as desigualdades:
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 6

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os tripletos onde cada variável está entre e :

Passo 7

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função . Isso significa determinar todos os possíveis valores que pode assumir dentro do domínio encontrado.

Passo 8

Vamos analisar os termos:
  • varia de a , porque vai de a .
  • também varia de a .
  • varia de a .

Passo 9

Então, a soma varia de a , já que cada termo pode ser no máximo .

Passo 10

Subtraindo , que varia de a , temos que varia de:
é
Portanto, pode variar de a .

Resposta

O domínio da função é e o conjunto imagem é .

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b) e .
Prove que as métricas, em , mensionadas acima são equivalentes, isto é,
Seja o espaço vetorial . Prove que são normas, para cada em , as seguintes funções
(norma da soma).