Determinar o domínio e o conjunto imagem da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e o conjunto imagem da função
. Vamos usar conhecimentos de funções, especialmente sobre radicais e condições para que eles existam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis (neste caso,
,
e
) para os quais a função está definida.
Passo 3
Como temos radicais na função, precisamos garantir que o que está dentro de cada raiz quadrada seja maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz de número negativo nos reais.
Passo 4
Vamos analisar cada radical separadamente:
- Para
, precisamos que . - Para
, precisamos que . - Para
, precisamos que .
Passo 5
Resolvendo as desigualdades:
-
. -
. -
.
Passo 6
Então, o domínio da função é o conjunto de todos os tripletos
onde cada variável está entre
e
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função
. Isso significa determinar todos os possíveis valores que
pode assumir dentro do domínio encontrado.
Passo 8
Vamos analisar os termos:
-
varia de a , porque vai de a . -
também varia de a . -
varia de a .
Passo 9
Então, a soma
varia de
a
, já que cada termo pode ser no máximo
.
Passo 10
Subtraindo
, que varia de
a
, temos que
varia de:
Portanto,
pode variar de
a
.
Resposta
O domínio da função é
e o conjunto imagem é
.