Resolva os sistemas abaixo, com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e arredondamento. Qual técnica forneceu os melhores resultados?
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para resolver o sistema com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e fazendo o arredondamento. Vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares e entender o que é o pivoteamento.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema sem pivoteamento usando o método de eliminação de Gauss. O sistema é:
Passo 3
Vamos eliminar da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por para igualar os coeficientes de :
Calculando:
Passo 4
Agora, subtraímos a nova primeira equação da segunda equação original para eliminar :
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, substituímos na primeira equação original para encontrar :
Passo 7
Então, a solução sem pivoteamento é:
Passo 8
Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivoteamento. O pivoteamento escolhe a maior valor absoluto no pivô para evitar erros numéricos.
No sistema dado:
O maior coeficiente absoluto no primeiro passo é 321.8, então já está bem posicionado e não precisamos trocar as linhas.
Passo 9
Aplicamos o método de eliminação de Gauss normalmente:
Primeira equação:
Segunda equação:
Vamos eliminar . Multiplicamos a segunda equação por :
Isso dá:
Passo 10
Subtraímos essa nova equação da primeira equação:
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo para :
Passo 12
Substituímos na segunda equação original para encontrar :
Passo 13
Então, a solução com pivoteamento é:
Resposta
As soluções encontradas foram iguais tanto com quanto sem pivoteamento:
Portanto, neste caso específico, ambas as técnicas forneceram os mesmos resultados.