Resolva os sistemas abaixo, com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e arredondamento. Qual técnica forneceu os melhores resultados?
(a) l58.09 x1+1.003 x2=68.12 321.8 x1+5.550 x2=377.3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para resolver o sistema com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e fazendo o arredondamento. Vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares e entender o que é o pivoteamento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema sem pivoteamento usando o método de eliminação de Gauss. O sistema é:
58.09x1 + 1.003x2 = 68.12 321.8x1 + 5.550x2 = 377.3

Passo 3

Vamos eliminar 321.858.09 times (58.09x1 + 1.003x2) = 321.858.09 times 68.12 da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 321.8x1 + 5.56x2 = 377.3 para igualar os coeficientes de :
Calculando:

Passo 4

Agora, subtraímos a nova primeira equação da segunda equação original para eliminar (321.8x1 + 5.550x2) - (321.8x1 + 5.56x2) = 377.3 - 377.3 :
-0.01x2 = 0
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para x2 = 0 :

Passo 6

Agora, substituímos 58.09x1 + 1.003(0) = 68.12 58.09x1 = 68.12 x1 = 68.1258.09 approx 1.172 na primeira equação original para encontrar :

Passo 7

Então, a solução sem pivoteamento é:
x1 approx 1.172 x2 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivoteamento. O pivoteamento escolhe a maior valor absoluto no pivô para evitar erros numéricos.
No sistema dado:
58.09x1 + 1.003x2 = 68.12 321.8x1 + 5.550x2 = 377.3
O maior coeficiente absoluto no primeiro passo é 321.8, então já está bem posicionado e não precisamos trocar as linhas.

Passo 9

Aplicamos o método de eliminação de Gauss normalmente:
Primeira equação: 321.858.09 times (58.09x1 + 1.003x2) = 321.858.09 times 68.12
Segunda equação: 321.8x1 + 5.56x2 = 377.3
Vamos eliminar . Multiplicamos a segunda equação por :
Isso dá:

Passo 10

Subtraímos essa nova equação da primeira equação:
(321.8x1 + 5.550x2) - (321.8x1 + 5.56x2) = 377.3 - 377.3
Simplificando:
-0.01x2 = 0

Passo 11

Resolvendo para x2 = 0 :

Passo 12

Substituímos 58.09x1 + 1.003(0) = 68.12 58.09x1 = 68.12 x1 = 68.1258.09 approx 1.172 na segunda equação original para encontrar :

Passo 13

Então, a solução com pivoteamento é:
x1 approx 1.172 x2 = 0

Resposta

As soluções encontradas foram iguais tanto com quanto sem pivoteamento:
x1 approx 1.172 x2 = 0
Portanto, neste caso específico, ambas as técnicas forneceram os mesmos resultados.

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