Resolva os sistemas abaixo, com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e arredondamento. Qual técnica forneceu os melhores resultados?
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para resolver o sistema com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e fazendo o arredondamento. Vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares e entender o que é o pivoteamento.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema sem pivoteamento usando o método de eliminação de Gauss. O sistema é:

Passo 3

Vamos eliminar da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por para igualar os coeficientes de :
Calculando:

Passo 4

Agora, subtraímos a nova primeira equação da segunda equação original para eliminar :
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação original para encontrar :

Passo 7

Então, a solução sem pivoteamento é:

Passo 8

Agora, vamos resolver o mesmo sistema com pivoteamento. O pivoteamento escolhe a maior valor absoluto no pivô para evitar erros numéricos.
No sistema dado:
O maior coeficiente absoluto no primeiro passo é 321.8, então já está bem posicionado e não precisamos trocar as linhas.

Passo 9

Aplicamos o método de eliminação de Gauss normalmente:
Primeira equação:
Segunda equação:
Vamos eliminar . Multiplicamos a segunda equação por :
Isso dá:

Passo 10

Subtraímos essa nova equação da primeira equação:
Simplificando:

Passo 11

Resolvendo para :

Passo 12

Substituímos na segunda equação original para encontrar :

Passo 13

Então, a solução com pivoteamento é:

Resposta

As soluções encontradas foram iguais tanto com quanto sem pivoteamento:
Portanto, neste caso específico, ambas as técnicas forneceram os mesmos resultados.

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